2012年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题(含答案)

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2012年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题
一、单项选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
1、设集合 , ,则 =( )
A、 B、 C、 D 、
2、正方体 中 与截面 所成的角是( )
A、 B、 C、 D、
3、已知 , ,则“ ”是“ 在 上恒成立”的( )
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、设正三角形 的面积为 ,作 的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为 ,面积为 ,如此下去作一系列的正三角形 ,其面积相应为 ,设 , ,则 =( )
A 、 B 、 C、 D 、2
5、设抛物线 的焦点为 ,顶点为 , 是抛物线上的动点,则 的最大值为( )
A 、 B 、 C、 D 、
6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为 的一个实心球,此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为( )
A、 B、 C、 D、
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
7、如图,正方形 的边长为3, 为 的中点, 与 相交于 ,则 的值是
8、 的展开式中的常数项是 .(用具体数字作答)
9、设等比数列 的前 项和为 ,满足 ,则 的值为 .
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 .
11、已知锐角 满足 ,则 的最大值是 .
12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 ,满足条件“ ”的概率是 .

三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)
13、设函数 ,
(I)求函数 在 上的最大值与最小值;
(II)若实数 使得 对任意 恒成立,求 的值.


14、已知 ,满足 ,
(I)求 的最小值;
(II)当 取最小值时,求 的最大值.


15、直线 与双曲线 的左支交于 、 两点,直线 经过点 和
的中点,求直线 在 轴的截距 的取值范围.


16、设函数 在 上的最大值为 ( ).
(I)求数列 的通项公式;
(II)求证:对任何正整数 ,都有 成立;
(III)设数列 的前 项和为 ,求证:对任意正整数 ,都有 成立.


参考解答
一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
7、 8、 9、0 10、14 11、 12、
三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)
13、解:(I)由条件知 , (5分)
由 知, ,于是
所以 时, 有最小值 ;
当 时, 有最大值 . (10分)
(II)由条件可知
对任意的 恒成立,


∴ , (15分)
由 知 或 。
若 时,则由 知 ,这与 矛盾!
若 ,则 (舍去), ,
解得 ,所以, . (20分)
14、解:(I)因为 (5分)
,等号成立的条件是 ,
当 时, 可取最小值2. (10分)
(II)当 取最小值时, ,从而 ,
即 ,令 ,则 (15分)
从而 或者 (舍去)
故 在 单减,
所以在 时, 有最大值 . (20分)

15、解:将直线 与双曲线 方程联立得
化简得 ①                   (5分)
由题设知方程①有两负根,因此 ,解得 .(10分)
设 ,则有 ,

故 的中点为 ,
所以直线 方程为 ,其在 轴的截距 ,(15分)
当 时, ,其取值范围是
所以 的取值范围是 . (20分)




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