2012年汕头市高三数学上册理科期中试题(含答案)

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网


汕头市金中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高三理科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)两部分,满分150分,时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 共40分)
一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 等于( )
A. B. C. D.
2.设 , 那么“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.已知单位向量 满足 ,则 夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知函数 ,且此函数的图象如图所示,则点 的坐标是( )
A. B.
C. D.
5.函数 的图象大致是( )

6.已知 满足线性约束条件 ,若 , ,则 的最大值是( )
A. B. C. D.
7.若函数 的零点与函数 的零点之差的绝对值不超过 ,则 可以是( )
A. B. C. D.
8.对于下列命题:①在△ABC中,若 ,则△ABC为等腰三角形;②已知a,b,c是△ABC的三边长,若 , , ,则△ABC有两组解;③设 , , ,则 ;④将函数 图象向左平移 个单位,得到函数 图象。其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)
二、题:(本大题共6小题,每小题5分,共30分.) ks5u
9.已知向量 , , .若 为实数, ,则 。
10.设 的最大值为16,则 。
11.已知 , ,则 。
12.在△ 中,内角 、 、 的对边分别为 、 、 ,已知 , , ,则 。
13.若关于 的不等式 存在实数解,则实数 的取值范围是 。
14.函数 .给出函数 下列性质:①函数的定义域和值域均为 ;②函数的图像关于原点成中心对称;③函数在定义域上单调递增;④ (其中 为函数的定义域);⑤ 、 为函数 图象上任意不同两点,则 。请写出所有关于函数 性质正确描述的序号 。
三、解答题:(本大题共6小题,共80分,解答应写出字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分12分)已知集合 , .
(Ⅰ)求集合 和集合 ;(Ⅱ)若 ,求 的取值范围。
16.(本小题满分12分)在直角坐标系中,已知 , , 为坐标原点, , .(Ⅰ)求 的对称中心的坐标及其在区间 上的单调递减区间;
(Ⅱ)若 , ,求 的值。
17.(本小题满分14分)已知函数 ,
(Ⅰ)求函数 的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)设 的内角 的对边分别 且 , ,若 ,求 的值.

18.(本小题满分14分)已知函数 ,
(Ⅰ)若 ,求 的单调区间;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,对 ,都有 ,求实数 的取值范围;
(Ⅲ)若 在 , 上单调递增,在 上单调递减,求实数 的取值范围。
19.(本小题满分14分)
如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 的池底水平铺设污水净化管道 , 是直角顶点)处理污水,管道越短,铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口 是 的中点, 分别落在线段 上。已知 米, 米,记 。
(Ⅰ)试将污水净化管道的长度 表示为 的函数,并写出定义域;
(Ⅱ)若 ,求此时管道的长度 ;
(Ⅲ)问:当 取何值时,铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度。
20.(本小题满分14分)
已知函数 的单调递增区间为 ,
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)当 取最小值时,点 是函数 图象上的两点,若存在 使得 ,求证:

汕头市金中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高三理科数学 参考答案
一、选择题(40分)
题号12345678
答案DACADBCC
二、题(30分)
9. 10. 11. 12. 13. 14.②④
三、解答题(80分)
15.解:(Ⅰ)由 ,得 ,即 …………………3分
由 或 ,
即 ………………………………………………………………………6分
(Ⅱ) ,
的取值范围是 …………………………………………………………………12分
16.解: , ,
则 …………………………………2分

……………………………………………………4分
(Ⅰ)由 ,即 对称中心是
当 时 单调递减,即
的单调递减是 ………………………………………6分
在区间 上的单调递减区间为 .………………………………………8分
(Ⅱ)
……………………………………10分
。…………………………………………………12分
17.解:(Ⅰ) …………………………2分
则 的最大值为0,最小正周期是 ……………………………………………4分
(Ⅱ) 则

……………………………………………………………………………6分
由正弦定理得 ①……………………………9分
由余弦定理得
即 ②……………………………………………………………………………12分
由①②解得 , …………………………………………………………………14分
18.解:(Ⅰ) 定义域为
当 时, , ,令 得 或 (舍)
(0,2)2
-0+
??
∴ 的递减区间为(0,2),递增区间为 …………………………………………4分
(Ⅱ)∵ 都有 成立
∴ ………………………………………………………………………………5分
由(Ⅰ)知
, ……………………………………………7分
∴ ,∴ ……………………………………………………………………8分
(Ⅲ) …………………………………9分
由条件知 恰为 的两个不相等正根,
即 恰有两个不相等正根,……………………………………………10分
对于方程 显然 是方程的一个解,……………………………11分
当 时, ( 且 )
当 时,
当 时, …………………………………………………………………13分
∴ 且 ……………………………………………………………14分
19.解:(Ⅰ) , ,
由于 , , , 。……3分
所以 , ………………………………………………5分
(Ⅱ) 时, , ;…………………………10分
(Ⅲ) = ,设 ,
则 ,由于 ,
所以 , 在 内单调递减,
于是当 时 . 的最小值 米……………………………………………13分
答:当 时,所铺设管道的成本最低,此时管道的长度为 米………………14分
20.解:(Ⅰ) ……………………………………………………………2分
依题意 是方程 的两根有: ………………………………4分
……………6分
(Ⅱ)
取最小值时, ,……………………………………………………7分
在 上是增函数, ,
,从而 ………………………………………………8分



…………………………10分
考虑函数 ,因 ,故当 时,有 ,
所以 是 上是减函数.
由 ,得 …………………………………12分
由 及 得
故 ,即 .
…………………………………………………………………………14分




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