2013年高三理科数学一模试题(朝阳区含答案)

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试(理工类)
2013.4
(考试时间120分钟 满分150分)
本试卷分为(共40分)和非(共110分)两部分
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1) 为虚数单位,复数 的虚部是
A. B. C. D .
(2)已知集合 , ,则
A. B. C. D.
(3)已知向量 , .若 ,则实数 的值为
A. B. C. D.
(4)在极坐标系中,直线 与曲线 相交于 两点, 为极点,则 的
大小为
A. B. C. D.
(5)在下列命题中,
①“ ”是“ ”的充要条件;
② 的展开式中的常数项为 ;
③设随机变量 ~ ,若
,则 .
其中所有正确命题的序号是
A.② B.③
C.②③ D.①③
(6)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三
视图如图所示,则这个几何体的体积为
A. B. C. D. 8
(7)抛物线 ( > )的焦点为 ,已知点 , 为抛物线上的两个动点,且满足 .过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ,垂足为 ,则 的最大值为
A. B. 1 C. D. 2
(8)已知函数 .若 ,使 成立,则称 为函数 的一个“生成点”.函数 的“生成点”共有
A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个
第二部分(非选择题 共110分)
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
(9)在等比数列 中, ,则 , 为等差数列,且 ,则
数列 的前5项和等于 .
(10)在 中, , , 分别为角 , ,C所对的边.已知角 为锐角,且 ,
则 .
(11)执行如图所示的程序框图,输出的结果S= .
(12)如图,圆 是 的外接圆,过点C作圆 的切
线交 的延长线于点 .若 ,
,则线段 的长是 ;圆 的
半径是 .
(13)函数 是定义在 上的偶函数,且满足
.当 时, .若在区间 上方程 恰有
四个不相等的实数根,则实数 的取值范围是 .
(14)在平面直角坐标系 中,已知点 是半圆 ( ≤ ≤ )上的一个动点,点 在线段 的延长线上.当 时,则点 的纵坐标的取值范围是 .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题满分13分)
已知函数 ( )的最小正周期为 .
(Ⅰ)求 的值及函数 的单调递增区间;
(Ⅱ)当 时,求函数 的取值范围.
(16)(本小题满分13分)
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数字 .称“从盒中随机抽取一张,记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响).
(Ⅰ)在一次试验中,求卡片上的数字为正数的概率;
(Ⅱ)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率;
(Ⅲ)在两次试验中,记卡片上的数字分别为 ,试求随机变量 的分布列与数学期望 .
(17)(本小题满分14分)
如图,在四棱锥 中,平面 平面 ,且 , .四边形 满足 , , .点 分别为侧棱 上的点,且 .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)当 时,求异面直线 与 所成角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在实数 ,使得平面 平面 ?若存在,
试求出 的值;若不存在,请说明理由.
(18)(本小题满分13分)
已知函数 ,其中 .
(Ⅰ)求函数 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 在 上有且只有一个零点,求实数 的取值范围.
(19)(本小题满分14分)
已知中心在原点,焦点在 轴上的椭圆 过点 ,离心率为 ,点 为其右顶点.过点 作直线 与椭圆 相交于 两点,直线 , 与直线 分别交于点 , .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)求 的取值范围.
(20)(本小题满分13分)
设 是数 的任意一个全排列,定义 ,其中 .
(Ⅰ)若 ,求 的值;
(Ⅱ)求 的最大值;
(Ⅲ)求使 达到最大值的所有排列 的个数.
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案(理工类)
2013.4
一、选择题:
题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
答案ADACCD AB
二、题:
题号(9)(10)(11)(12)(13)(14)
答案 ,
(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分)
三、解答题:
(15)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)
. …………………………………………4分
因为 最小正周期为 ,所以 . ………………………………6分
所以 .
由 , ,得 .
所以函数 的单调递增区间为[ ], . ………………8分
(Ⅱ)因为 ,所以 , …………………………………10分
所以 . ………………………………………12分
所以函数 在 上的取值范围是[ ]. ……………………………13分
(16)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设事件A:在一次试验中,卡片上的数字为正数,则

答:在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是 .…………………………3分
(Ⅱ)设事件B:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数.
由(Ⅰ)可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是 .
所以 .
答:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为 .……………7分
(Ⅲ)由题意可知, 的可能取值为 ,所以随机变量 的可能取值为 .
; ;
; ;
; .
所以随机变量 的分布列为
所以 .……………………13分
(17)(本小题满分14分)
证明:(Ⅰ)由已知, ,
所以 .
因为 ,所以 .
而 平面 , 平面 ,
所以 平面 . ……………………………………………………4分
(Ⅱ)因为平面 平面 ,
平面 平面 ,且 ,
所以 平面 .
所以 , .
又因为 ,
所以 两两垂直. ……………………………………………………5分
如图所示,建立空间直角坐标系,
因为 , ,
所以

当 时, 为 中点,
所以 ,
所以 .
设异面直线 与 所成的角为 ,
所以 ,
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .…………………………………9分
(Ⅲ)设 ,则 .
由已知 ,所以 ,
所以 所以 .
设平面 的一个法向量为 ,因为 ,
所以 即
令 ,得 .
设平面 的一个法向量为 ,因为 ,
所以 即
令 ,则 .
若平面 平面 ,则 ,所以 ,解得 .
所以当 时,平面 平面 .…………………………………………14分
(18)(本小题满分1 3分)
解:函数定义域为 , 且 …………2分
①当 ,即 时,令 ,得 ,函数 的单调递减区间为 ,
令 ,得 ,函数 的单调递增区间为 .
②当 ,即 时,令 ,得 或 ,
函数 的单调递增区间为 , .
令 ,得 ,函数 的单调递减区间为 .
③当 ,即 时, 恒成立,函数 的单调递增区间为 . …7分
(Ⅱ)①当 时,由(Ⅰ)可知,函数 的单调递减区间为 , 在 单调递增.
所以 在 上的最小值为 ,
由于 ,
要使 在 上有且只有一个零点,
需满足 或 解得 或 .
②当 时,由(Ⅰ)可知,
(?)当 时,函数 在 上单调递增;
且 ,所以 在 上有且只有一个零点.
(?)当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增;
又因为 ,所以当 时,总有 .
因为 ,
所以 .
所以在区间 内必有零点.又因为 在 内单调递增,
从而当 时, 在 上有且只有一个零点.
综上所述, 或 或 时, 在 上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分
(19)(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为 ,
依题意得 解得 , .
所以椭圆 的方程为 . ………………………………………………4分
(Ⅱ)显然点 .
(1)当直线 的斜率不存在时,不妨设点 在 轴上方,易得 , ,所以 . …………………………………………6分
(2)当直线 的斜率存在时,由题意可设直线 的方程为 ,显然 时,不符合题意.
由 得 . 新课 标第 一 网
设 ,则 .
直线 , 的方程分别为: ,
令 ,则 .
所以 , . ……………………10分
所以
. ……………………………………………12分
因为 ,所以 ,所以 ,即 .
综上所述, 的取值范围是 . ……………………………………14分
(20)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ) . ……3分
(Ⅱ)数 的 倍与 倍分别如下:
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为 ,所以 .
对于排列 ,此时 ,
所以 的最大值为 . ……………………………………………………………8分
(Ⅲ)由于数 所产生的 个数都是较小的数,而数 所产生的 个数都是较大的数,所以使 取最大值的排列中,必须保证数 互不相邻,数 也互不相邻;而数 和 既不能排在 之一的后面,又不能排在 之一的前面.设 ,并参照下面的符号排列 △○□△○□△○□△○
其中 任意填入 个□中,有 种不同的填法; 任意填入 个圆圈○中,共有 种不同的填法; 填入 个△之一中,有 种不同的填法; 填入 个△中,且当与 在同一个△时,既可以在 之前又可在 之后,共有 种不同的填法,所以当 时,使 达到最大值的所有排列 的个数为 ,由轮换性知,使 达到最大值的所有排列 的个数为 . ……………………………13分


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