数 学 试 卷（理科）
一. 题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．方程组 的增广矩阵为 ．
2．已知集合 ， ，则集合 ．
3. 若 ，且 为实数，则实数 的值为 ．
4. 用二分法研究方程 的近似解 ，借助计算器经过若干次运算得下表：
运算次数1…456…
解的范围
…
若精确到 ，至少运算 次，则 的值为 ．
5．已知 是夹角为 的两个单位向量，向量 若 ，
则实数 的值为 ．
6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品
净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，
已知产品净重的范围是区间 ，样本中净重在区间
的产品个数是 ，则样本中净重在区间
的产品个数是 ．
7. 一个圆锥的底面积为 ，且该圆锥的母线与底面所成的角为 ，则该圆锥的
侧面积为 ．
8. 在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点，以 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线 的极坐标方程为 ，曲线 与 相交于
两点 、 ，则弦长 等于 .
9. 设双曲线 的左右顶点分别为 、 ， 为双曲线右支上一点，且位于第一象限，
直线 、 的斜率分别为 、 ，则 的值为 ．
10. 设 的三个内角 所对的边长依次为 ，若 的面积为 ，
且 ，则 ．
11. 已知随机变量 所有的取值为 ，对应的概率依次为 ，若随机变量 的方差 ，
则 的值是 ．
12. 公差为 ，各项均为正整数的等差数列 中，若 ，则 的最小值
等于 ．
13. 已知 的外接圆的圆心为 ， 则 ．
14．设 是定义在 上的函数，若 ，且对任意的 ，满足
二. （本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．二项式 展开式中 的系数为 ( )
（A） ． （B） ． （C） ． （D） ．
16．在 中，“ ”是“ 是钝角三角形”的 ( )
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
17．设函数 ，则函数 的最小值是 ( )
（A） ． （B）0． （C） ． （D） ．
18．给出下列四个命题：
① 如果复数 满足 ，则复数 在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．
② 设 是定义在 上的函数，且对任意的 ， 恒成立，则 是 上的
奇函数或偶函数．
③ 已知曲线 和两定点 ，若 是 上的动点，
则 ．
④ 设定义在 上的两个函数 、 都有最小值，且对任意的 ，命题“ 或
”正确，则 的最小值为正数或 的最小值为正数．
上述命题中错误的个数是 （ ）
（A）1． （B）2． （C）3． （D）4．
三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．
如图，在半径为 的半圆形（ 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ，其中点 、
在直径上，点 、 在圆周上．
（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：
①设 ，矩形 的面积为 ，求 的表达式，并写出 的范围．
②设 ，矩形 的面积为 ，求 的表达式，并写出 的范围．
（2）怎样截取才能使截得的矩形 的面积最大？并求最大面积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．
如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 分别在棱 上，且 ．
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求 所在半平面与 所在半平面所成二面角 的余弦值．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
已知椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在坐标轴上，且经过 两点，
是 上的动点．
（1）求 的最大值；
（2）若平行于 的直线 在 轴上的截距为 ，直线 交椭圆 于两个不同点 ，
求证：直线 与直线 的倾斜角互补．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．
已知 ．
（1）当 时，判断 的奇偶性，并说明理由；
（2）当 时，若 ，求 的值；
（3）若 ，且对任何 不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．
如图，过坐标原点 作倾斜角为 的直线交抛物线 于 点，过 点作倾斜角为 的直线交 轴于 点，交 于 点；过 点作倾斜角为 的直线交 轴于 点，交 于 点；过 点作倾斜角为 的直线，交 轴于 点，交 于 点；如此下去……．又设线段 的长分别为 ，
的面积分别为 数列 的前 项的和为 ．
（1）求 ；
（2）求 ， ；
（3）设 ，数列 的前 项和为 ，
对于正整数 ，若 ，且 ，
试比较 与 的大小．
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷
参考答案与评分标准
一、（第1题至第14题）
1． ； 2． ； 3． ； 4．5.3； 5． ； 6．44； 7． ； 8． ； 9． ； 10． ； 11． ； 12． ； 13． ； 14． ．
二、（第15题至第18题） 15．D； 16．A； 17．B； 18．D．
三、（第19题至第23题）
19. [解]①由 ，得 ，其中 2分
所以
即 ， ………………………………4分
②连接 ，则 ……………………2分
所以
即 ． ……………………4分
（2）①由
得当 即当 时， 取最大值 ．…… 4分
此时 ，
当 取 时，矩形 的面积最大，最大面积为 ．… 2分
② ，
当且仅当 ，即 时， 取最大值 ．……4分，
当 取 时，矩形 的面积最大，最大面积为 ．… 2分
20.[解]（1） ……7分
（2）建立如图所示的直角坐标系，则 , , , ，
, ……………………2分
设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ……………………………2分
平面 的法向量为 ，则
所以 所在半平面与 所在半平面所成二面角 的余弦值为 ．…3分
21. [解]（1）设椭圆 的方程为
将 代入椭圆 的方程，得 ………2分
解得 ，所以椭圆 的方程为 …………2分
设点 的坐标为 ，则 ．
又 是 上的动点，所以 ，得 ，代入上式得
，
故 时， ． 的最大值为 ． ………………2分
（2）因为直线 平行于 ，且在 轴上的截距为 ，又 ，所以直线 的方程为 ．
由 得 ………………2分
设 、 ，则 ．又
故 ．……… 2分
又 ，所以上式分子 ………2分
故 ．
所以直线 与直线 的倾斜角互补．…………………………………2分
22. [解]（1）当 时， 既不是奇函数也不是偶函数．……2分
∵ ，∴
所以 既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分
（2）当 时， ，
由 得 ……………………………2分
即 或 ………………………2分
解得
所以 或 ． ………………2分
（3）当 时， 取任意实数，不等式 恒成立，
故只需考虑 ，此时原不等式变为
即 ………………………………………………………2分
故
又函数 在 上单调递增，所以 ；
对于函数
①当 时，在 上 单调递减， ，又 ，
所以，此时 的取值范围是 ． ……………………………………2分
②当 ，在 上， ，
当 时， ，此时要使 存在，
必须有 即 ，此时 的取值范围是
综上，当 时， 的取值范围是 ；当 时， 的取值范围是 ；
当 时， 的取值范围是 ． ……………………………2分
23. [解] （1）如图，由 是边长为 的等边三角形，得点 的坐标为 ，又 在抛物线 上，所以 ，得 ………………2分
同理 在抛物线 上，得 ………………2分
（2）如图，法1：点 的坐标为 ，即点 ，所以直线 的方程为 或 ，
因此，点 的坐标满足
消去 得 ， 所以
又 ，故
从而 ……① ……………………………………………2分
由①有 ……②
②-①得
即 ，又 ，于是
所以 是以 为首项、 为公差的等差数， …………2分
， ……………………2分
法2：点 的坐标为 ，即点 ，
所以直线 的方程为 或
因此，点 的坐标满足 消去 得 ，
又 ，所以 ，从而 …① ……2分
以下各步同法1
法3：点 的坐标为 ，
即点 ，所以 ，
又 在抛物线 上，得 ,即 ……………2分
以下各步同法1
（3）因为 ，所以数列 是正项等比数列，且公比 ，首项 ，
则 ， ， ， …… 2分
= （注意 ）
………………………… 2分
而
（注意 ）
……………………… 2分
因为 ，所以 ,又 均为正整数，所以 与 同号，
故 ，所以， ．………………… 2分
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