2013年西城区高三数学理科一模试题(带答案)

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网
高三数学(理科)
2013.4
第Ⅰ卷( 共40分)
一、:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集 ,集合 , ,那么
2.若复数 的实部与虚部相等,则实数
3.执行如图所示的程序框图.若输出 ,则输入

4.从甲、乙等 名志愿者中选出 名,分别从事 , , , 四项不同的工作,每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事 工作,则不同的工作分配方案共有
(A) 种
(B) 种
(C) 种
(D) 种
5.某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视
图是边长为 的正方形,该正三棱柱的表面积是
6.等比数列 中, ,则“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
7.已知函数 ,其中 .若对于任意的 ,都有 ,则 的取值范围是
8.如图,正方体 中, 为底面
上的动点, 于 ,且 ,则点 的
轨迹是
(A)线段(B)圆弧
(C)椭圆的一部分(D)抛物线的一部分
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),则曲线 的直角坐标方程为 .
10.设等差数列 的公差不为 ,其前 项和是 .若 , ,则 ______.
11.如图,正六边形 的边长为 ,则
______.
12.如图,已知 是圆 的直径, 在 的延长线上,
切圆 于点 , 于 .若 , ,
则圆 的半径长为______; ______.
13.在直角坐标系 中,点 与点 关于原点 对称.点 在抛物线 上,且直线 与 的斜率之积等于 ,则 ______.
14.记实数 中的最大数为 ,最小数为 .设△
的三边边长分别为 ,且 ,定义△ 的倾斜度为

(?)若△ 为等腰三角形,则 ______;
(?)设 ,则 的取值范围是______.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数 的一个零点是 .
(Ⅰ)求实数 的值;
(Ⅱ)设 ,求 的单调递增区间.
16.(本小题满分13分)
某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:
现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 名同学进行学业检测.
(Ⅰ)求从甲组抽取的同学中恰有 名女同学的概率;
(Ⅱ)记 为抽取的 名同学中男同学的人数,求随机变量 的分布列和数学期望.
17.(本小题满分14分)
在如图所示的几何体中,面 为正方形,面 为等腰梯形, // , ,
, .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求 与平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段 上是否存在点 ,使平面 平面 ?
证明你的结论.
18.(本小题满分13分)
已知函数 , ,其中 .
(Ⅰ)求 的极值;
(Ⅱ)若存在区间 ,使 和 在区间 上具有相同的单调性,求 的取值范围.
19.(本小题满分14分)
如图,椭圆 的左焦点为 ,过点 的直线交椭圆于 , 两点.当直线 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 .
(Ⅰ)求该椭圆的离心率;
(Ⅱ)设线段 的中点为 , 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点.记△ 的面积为 ,△ ( 为原点)的面积为 ,求 的取值范围.
20.(本小题满分13分)
已知集合 .
对于 , ,定义 ;
; 与 之间的距离为 .
(Ⅰ)当 时,设 , .若 ,求 ;
(Ⅱ)(?)证明:若 ,且 ,使 ,则 ;
(?)设 ,且 .是否一定 ,使 ?
说明理由;
(Ⅲ)记 .若 , ,且 ,求 的最大值.
北京市西城区2013年高三一模试卷
高三数学(理科)参考答案及评分标准
2013.4
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1. B; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.B; 7.D; 8.A.
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. ; 10. ; 11.
12. , ; 13. ; 14. , .
注:12、14题第一问2分,第二问3分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:依题意,得 , ………………1分
即 , ………………3分
解得 . ………………5分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 . ………………6分
………………7分
………………8分
………………9分
. ………………10分
由 ,
得 , . ………………12分
所以 的单调递增区间为 , . ………………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:依题意,甲、乙两组的学生人数之比为 , ……………1分
所以,从甲组抽取的学生人数为 ;从乙组抽取的学生人数为 .………2分
设“从甲组抽取的同学中恰有 名女同学”为事件 , ………………3分
则 ,
故从甲组抽取的同学中恰有 名女同学的概率为 . ………………5分
(Ⅱ)解:随机变量 的所有取值为 . ………………6分
, ,
, .……………10分
所以,随机变量 的分布列为:
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:因为 , ,
在△ 中,由余弦定理可得 ,
所以 . ………………2分
又因为 ,
所以 平面 . ………………4分
(Ⅱ)解:因为 平面 ,所以 .
因为 ,所以 平面 . ………………5分
所以 两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系 . ………………6分在等腰梯形 中,可得 .
设 ,所以 .
所以 , , .
设平面 的法向量为 ,则有
所以 取 ,得 . ………………8分
设 与平面 所成的角为 ,则 ,
所以 与平面 所成角的正弦值为 . ………………9分
(Ⅲ)解:线段 上不存在点 ,使平面 平面 .证明如下: ………………10分
假设线段 上存在点 ,设 ,所以 .
设平面 的法向量为 ,则有
所以 取 ,得 . ………………12分
要使平面 平面 ,只需 , ………………13分
即 , 此方程无解.
所以线段 上不存在点 ,使平面 平面 . ………………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解: 的定义域为 , ………………1分
且 . ………………2分
① 当 时, ,故 在 上单调递减.
从而 没有极大值,也没有极小值. ………………3分
② 当 时,令 ,得 .
和 的情况如下:
故 的单调减区间为 ;单调增区间为 .
从而 的极小值为 ;没有极大值. ………………5分
(Ⅱ)解: 的定义域为 ,且 . ………………6分
③ 当 时,显然 ,从而 在 上单调递增.
由(Ⅰ)得,此时 在 上单调递增,符合题意. ………………8分
④ 当 时, 在 上单调递增, 在 上单调递减,不合题意.……9分
⑤ 当 时,令 ,得 .
和 的情况如下表:
当 时, ,此时 在 上单调递增,由于 在 上单调递减,不合题意. ………………11分
当 时, ,此时 在 上单调递减,由于 在 上单调递减,符合题意.
综上, 的取值范围是 . ………………13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:依题意,当直线 经过椭圆的顶点 时,其倾斜角为 . ………………1分
设 ,
则 . ………………2分
将 代入 ,
解得 . ………………3分
所以椭圆的离心率为 . ………………4分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ),椭圆的方程可设为 . ………………5分
设 , .
依题意,直线 不能与 轴垂直,故设直线 的方程为 ,将其代入
,整理得 . ………………7分
则 , , .
………………8分
因为 ,
所以 , . ………………9分
因为 △ ∽△ ,
所以 ………………11分
. ………………13分
所以 的取值范围是 . ………………14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:当 时,由 ,
得 ,即 .
由 ,得 ,或 . ………………3分
(Ⅱ)(?)证明:设 , , .
因为 ,使 ,
所以 ,使得 ,
即 ,使得 ,其中 .
所以 与 同为非负数或同为负数. ………………5分
所以
. ………………6分
(?)解:设 ,且 ,此时不一定 ,使得
. ………………7分
反例如下:取 , , ,
则 , , ,显然 .
因为 , ,
所以不存在 ,使得 . ………………8分
(Ⅲ)解法一:因为 ,
设 中有 项为非负数, 项为负数.不妨设 时 ; 时, .
所以
因为 ,
所以 , 整理得 .
所以 .……………10分
因为

又 ,
所以

即 . ……………12分
对于 , ,有 , ,且 ,

综上, 的最大值为 . ……………13分
解法二:首先证明如下引理:设 ,则有 .
证明:因为 , ,
所以 ,
即 .
所以
. ……………11分
上式等号成立的条件为 ,或 ,所以 . ……………12分
对于 , ,有 , ,且 ,


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