数学学科测试（文史类） 2013.4
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为（共40分）和非（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1） 为虚数单位，复数 的虚部是
A． B． C． D .
（2）若集合 ， ，则
A. B. C. D.
（3）已知向量 ， .若 ，则实数 的
值为
A． B． C． D．
（4）已知命题 ： ， ；命题 ： ， .
则下列判断正确的是
A． 是假命题 B． 是假命题 C． 是真命题 D． 是真命题
（5）若直线 与圆 有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D .
（6）“ ”是“关于 的不等式组 表示的平面区域为三角形”的
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
（8）已知函数 .若 ，使 ，则称 为函数 的一个“生成点”.函数 的“生成点”共有
A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个
第二部分（非选择题 共110分）
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
（9）以双曲线 的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .
（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .
（11） 在等比数列 中， ，则 ，若 为等差数列，且 ，则数列 的前5项和等于 .
（12）在 中， , , 分别为角 , , 所对的边，且满足 ，则 ，
若 ，则 .
（13） 函数 是定义在 上的偶函数，且满足 .当 时， .若在区间 上方程 恰有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 .
（14）在平面直角坐标系 中，点 是半圆 （ ≤ ≤ ）上的一个动点，点 在线段 的延长线上．当 时，则点 的纵坐标的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题满分13分）
已知函数 （ ）的最小正周期为 .
（Ⅰ）求 的值及函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）当 时，求函数 的取值范围.
（16） （本小题满分13分）
国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：
空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300300以上
空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染
由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用
茎叶图表示如下：
（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；
（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；
（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．
(注： ，其中 为数据 的平均数.)
（17） （本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，且 ， ．四边形 满足 ， ， ． 为侧棱 的中点， 为侧棱 上的任意一点.
（Ⅰ）若 为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）是否存在点 ，使得直线 与平面 垂直？若存在，
写出证明过程并求出线段 的长；若不存在，请说明理由．
（18） （本小题满分13分）
已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，求 的值；
（Ⅱ）求函数 的单调区间.
（19） （本小题满分14分）
已知椭圆 过点 ,离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 且斜率为 （ ）的直线 与椭圆 相交于 两点，直线 ， 分别交直线 于 ， 两点,线段 的中点为 .记直线 的斜率为 ，求证: 为定值.
（20）（本小题满分13分）
由 按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为 ，设 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）求 的最大值.
(注：对任意 ， 都成立.)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案（文史类） 2013.4
一、选择题：
题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案ACBDDADB
二、题：
题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）
答案 ； ；
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ） ……………………………………………1分
. ……………………………………………………4分
因为 最小正周期为 ，所以 .………………………………………………5分
于是 .
由 ， ，得 .
所以 的单调递增区间为[ ]， .……………………………8分
（Ⅱ）因为 ，所以 ， …………………………………10分
则 . …………………………………………………12分
所以 在 上的取值范围是[ ]. ………………………………………13分
（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分
（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为 ，
则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为 ．………………6分,
（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有 个结果，分别记为：
（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）
（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），
（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），
（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），
（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.
其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.
则空气质量等级相同的为：
（29，41），（29，43），
（53，55），（53，58），（53，78）,
（57，55），（57，58），（57，78），
（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果.
则 .
所以这两个城市空气质量等级相同的概率为 ．
…………………………………………………………………13分
（17）（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为 分别为侧棱 的中点，
所以 ．
因为 ，所以 ．
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）因为平面 平面 ，
平面 平面 ，且 ， 平面 .
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ，
而 平面 ，
所以平面 平面 ．……………………………………………………8分
（Ⅲ）存在点 ，使得直线 与平面 垂直.
在棱 上显然存在点 ,使得 .
由已知， ， ， ， ．
由平面几何知识可得 ．
由（Ⅱ）知， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ．
而 平面 ，所以 ．
又因为 ,所以 平面 .
在 中， ，
可求得， ．
可见直线 与平面 能够垂直，此时线段 的长为 ．……………14分
（18）（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由 可知，函数定义域为 ，
且 .由题意， ，
解得 .……………………………………………………………………………4分
（Ⅱ） .
令 ，得 ， .
（1）当 时， ，令 ，得 ;令 ，得 .
则函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）当 ，即 时，令 ，得 或 .
则函数 的单调递增区间为 ， .
令 ，得 .
则函数 的单调递减区间为 .
（3）当 ，即 时， 恒成立，则函数 的单调递增区间为 .
（4）当 ，即 时，令 ，得 或 ，
则函数 的单调递增区间为 ， .
令 ，得 .
则函数 的单调递减区间为 . ……………………………………13分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）依题得 解得 ， .
所以椭圆 的方程为 . …………………………………………………4分
（Ⅱ）根据已知可设直线 的方程为 .
由 得 .
设 ,则 .
直线 ， 的方程分别为： ，
令 ，
则 ,所以 .
所以
. ……………………………………………………14分
（20）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ） .………3分
（Ⅱ）证明：由 及其推广可得，
= . ……………………………7分
（Ⅲ） 的 倍与 倍共 个数如下：
其中最大数之和与最小数之和的差为 ，所以 ，
对于 ， ，
所以 的最大值为 . ……………………………………………………13分
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