第一部分（ 共40分）
一、：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）已知集合 ， ，则 =
A. B. C. D.
（2）已知 ： ， ： ，则 是 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
（3）函数 （ ）的图象的一条对称轴方程是
A． B. C. D．
（4）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 ，则判断框内的条件是
A. ? B. ?
C. ? D. ？
（第4题图）
（5）若双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则此双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
（6）将一个质点随机投放在关于 的不等式组 所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 的概率是
A． B． C． D．
（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A． B．
（第7题图）
（８）已知函数 ，定义函数 给出下列命题：
① ； ②函数 是奇函数；③当 时，若 ， ，总有 成立，其中所有正确命题的序号是
A． ② B．①③ C．②③ D．①②
第二部分（非选择题 共110分）
二、题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
（9） 为虚数单位，计算 ．
（10）已知向量 ，若 ，则 的值为 .
（11）已知等差数列 的公差为 ， 是 与 的等比中项，则首项 _,前 项和 __.
（12）若直线 与圆 相交于 , 两点，且线段 的中点坐标是 ，则直线 的方程为 .
（13）某公司一年购买某种货物 吨，每次都购买 吨( 为 的约数)，运费为 万元/次，
一年的总存储费用为 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．
（14）数列 的前 项 组成集合 ，从集合 中任取 个数，其所有可能的 个数的乘积的和为 （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记 ．例如当 时， ， ， ；当 时， ， ， ， .则当 时， ；试写出 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题满分13分）
在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（Ⅰ）求函数 的最大值；
（Ⅱ）若 ，求b的值．
（16）（本小题满分13分）
为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成 五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．
（Ⅰ）求实数 的值及参加“掷实心球”项目
测试的人数；
（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取
2名学生再进行其它项目的测试，求所抽
取的2名学生来自不同组的概率．
（17）（本小题满分14分）
如图，已知四边形 是正方形， 平面 ， ， ， , , 分别为 , , 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）在线段 上是否存在一点 ,使 平面 ？
若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由.
（18） （本小题满分13分）
已知函数 ， （ ）.
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）求证：当 时，对于任意 ，总有 成立.
（19） （本小题满分14分）
已知椭圆 的右焦点 ，长轴的左、右端点分别为 ,且 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过焦点 斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，弦 的垂直平分线与 轴相交于点 . 试问椭圆 上是否存在点 使得四边形 为菱形？若存在，试求点 到 轴的距离；若不存在，请说明理由.
（20）（本小题满分13分）
已知实数 （ 且 ）满足 ，记 .
（Ⅰ）求 及 的值；
（Ⅱ）当 时，求 的最小值；
（Ⅲ）当 为奇数时，求 的最小值．
注： 表示 中任意两个数 , （ ）的乘积之和.
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案（文史类） 2013.5
一、选择题：
题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案DABCBCAC
二、题：
题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）
答案
或
8；
63；
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
（Ⅰ） .
因为 ，所以 .
则所以当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 .……7分
（Ⅱ）由题意知 ，所以 ．
又知 ，所以 ，则 .
因为 ，所以 ，则 .
由 得， ． ……………………13分
（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知 ，解得 .
所以此次测试总人数为 ．
答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人． ……………………4分
（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为 ，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为 ． ……………………7分
（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．
由已知，测试成绩在 有2人，记为 ；在 有6人，记为 ．
从这8人中随机抽取2人有 ，
共28种情况．
事件A包括 共12种情况．
所以 ．
答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为 ． ……………………………13分
（17）（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为 , 分别为 ， 的中点，
所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ……………4分
（Ⅱ）因为 平面 ，所以 .
又因为 ， ，
所以 平面 .
由已知 , 分别为线段 , 的中点，
所以 .
则 平面 .
而 平面 ，
所以平面 平面 . …………………………………………………9分
（Ⅲ）在线段 上存在一点 ，使 平面 .证明如下：
在直角三角形 中，因为 , ,所以 .
在直角梯形 中，因为 ， ,所以 ，
所以 .又因为 为 的中点，所以 .
要使 平面 ，只需使 .
因为 平面 ，所以 ，又因为 ， ,
所以 平面 ，而 平面 ，所以 .
若 ，则 ∽ ,可得 .
由已知可求得 ， ， ，所以 .……14分
（18）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）函数 的定义域为 ，
.
当 时，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
当 时，
???
综上所述，
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
……………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 时，
在 上单调递增， ； 在 上单调递减，且 .
所以 时， .
因为 ，所以 ，
令 ，得 .
①当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
因为 ，
所以对于任意 ，总有 .
②当 时， 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增， .
所以对于任意 ，仍有 .
综上所述，对于任意 ，总有 . …………………13分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）依题设 ， ，则 ， .
由 ，解得 ，所以 .
所以椭圆 的方程为 . …………………………………………4分
（Ⅱ）依题直线 的方程为 .
由 得 .
设 , ,弦 的中点为 ，
则 ， ， ， ，
所以 .
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，则 .
若四边形 为菱形，则 ， .
所以 .
若点 在椭圆 上，则 .
整理得 ，解得 .所以椭圆 上存在点 使得四边形 为菱形.
此时点 到 的距离为 . ………………………………………………14分
（20）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知得 ．
． ………………………3分
（Ⅱ） 时， ．
固定 ，仅让 变动，那么 是 的一次函数或常函数，
因此 ．
同理 ．
以此类推，我们可以看出， 的最小值必定可以被某一组取值 的 所达到，于是 ．
当 （ ）时，
．
因为 ，
所以 ，且当 ， ，时 ，
因此 ． ……………………………………………7分
（Ⅲ）
.
固定 ，仅让 变动，那么 是 的一次函数或常函数，
因此 ．
同理 ．
．
以此类推，我们可以看出， 的最小值必定可以被某一组取值 的 所达到，于是 ．
当 （ ）时，
．
当 为奇数时，因为 ，
所以 ，另一方面，若取 ，
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