2013年高三数学理科二模试卷(静安等区有答案)

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2013年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科) 2013.04.
(满分150分,答题时间120分钟)
一、题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.已知全集 ,集合 ,则 .
2.若复数 满足 ( 是虚数单位),则 .
3.已知直线 的倾斜角大小是 ,则 .
4.若关于 的二元一次方程组 有唯一一组解,则实数 的取值范围
是 .
5.已知函数 和函数 的图像关于直线 对称,则函数 的解析式为 .
6.已知双曲线的方程为 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 .
7.函数 的最小正周期 .
8.若 展开式中含 项的系数等于含 项系数的8倍,则正整数 .
9.执行如图所示的程序框图,若输入 的值是 ,则输出 的值是 .
10.已知圆锥底面半径与球的半径都是 ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这个圆锥的母线长为 .
11.某中学在高一年级开设了 门选修课,每名学生必须参加这 门选修课中的一门,对于该年级的甲、乙、丙 名学生,这 名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示).
12.各项为正数的无穷等比数列 的前 项和为 ,若 , 则其公比 的取值范围是 .
13.已知两个不相等的平面向量 , ( )满足 =2,且 与 - 的夹角为120°,则 的最大值是 .
14.给出30行30列的数表 : ,其特点是每行每列都构成等差数列,记数表主对角线上的数 按顺序构成数列 ,存在正整数 使 成等差数列,试写出一组 的值 .
二、(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.
15.已知 , ,则 的值等于………………………( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
16.已知圆 的极坐标方程为 ,则“ ”是“圆 与极轴所在直线相切”的 ………………………………………………………………………………( )
(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分又不必要条件.
17. 若直线 经过点 ,则 …………………………( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
18.已知集合 ,若对于任意 ,存在 ,使
得 成立,则称集合 是“ 集合”. 给出下列4个集合:
① ②
③ ④
其中所有“ 集合”的序号是……………………………………………………( )
(A)②③ . (B)③④ . (C)①②④. (D)①③④.
三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.
在棱长为 的正方体 中, 分别为 的中点.
(1)求直线 与平面 所成角的大小;
(2)求二面角 的大小.
20.(本题满分14分)本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 .
如图所示,扇形 ,圆心角 的大小等于 ,半径为 ,在半径 上有一动点 ,过点 作平行于 的直线交弧 于点 .
(1)若 是半径 的中点,求线段 的大小;
(2)设 ,求△ 面积的最大值及此时 的值.
21.(本题满分14分)本题共有2小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分 .
已知函数 .
(1)若 是偶函数,在定义域上 恒成立,求实数 的取值范围;
(2)当 时,令 ,问是否存在实数 ,使 在 上是减函数,在 上是增函数?如果存在,求出 的值;如果不存在,请说明理由.
22.(本题满分16分)本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知点 , 、 、 是平面直角坐标系上的三点,且 、 、 成等差数列,公差为 , .
(1)若 坐标为 , ,点 在直线 上时,求点 的坐标;
(2)已知圆 的方程是 ,过点 的直线交圆于 两点, 是圆 上另外一点,求实数 的取值范围;
(3)若 、 、 都在抛物线 上,点 的横坐标为 ,求证:线段 的垂直平分线与 轴的交点为一定点,并求该定点的坐标.
23.(本题满分18分)本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知数列 的前 项和为 ,且满足 ( ), ,设 , .
(1)求证:数列 是等比数列;
(2)若 ≥ , ,求实数 的最小值;
(3)当 时,给出一个新数列 ,其中 ,设这个新数列的前 项和为 ,若 可以写成 ( 且 )的形式,则称 为“指数型和”.问 中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.
2013年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科)
参考答案及评分标准 2013.04
说明
1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.
3.第19题至第23题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数.
4.给分或扣分均以1分为单位.
一.题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;
7.(文、理) ;8.(文)4(理) ;9. ;10. ;11.(文) (理) ;12. ;13.(文) (理) ;14.(文)②③⑤(理) . ②
二、(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.
15. D ; 16.(文)B (理)A ; 17. B ;18.(文)C(理)A
三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19.(本题满分12分)本题共有2小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分 .
(文)解:(1)如图正四棱锥底面的边长是 米,高是 米
所以这个四棱锥冷水塔的容积是 .
(2)如图,取底面边长的中点 ,连接 ,
答:制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板.
(理)
19.(1)(理)解法一:建立坐标系如图
平面 的一个法向量为
因为 , ,
可知直线 的一个方向向量为 .
设直线 与平面 成角为 , 与 所成角为 ,则
19(1)解法二: 平面 ,即 为 在平面 内的射影,故 为直线 与平面 所成角,
在 中, ,
19(2)(理科)
解法一:建立坐标系如图.平面 的一个法向量为
设平面 的一个法向量为 ,因为 ,
所以 ,令 ,则
由图知二面角 为锐二面角,故其大小为 .
19(2)解法二:过 作平面 的垂线,垂足为 , 即为所求
,过 作 的垂线设垂足为 , ∽

在 中
所以二面角 的大小为 .
20.(本题满分14分)本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 .
解:(1)在△ 中, ,

得 ,解得 .
(2)∵ ∥ ,∴ ,
在△ 中,由正弦定理得 ,即
∴ ,又 .
(文)记△ 的周长为 ,则
=
∴ 时, 取得最大值为 .
(理)解法一:记△ 的面积为 ,则 ,
∴ 时, 取得最大值为 .
解法二:
即 ,又 即
当且仅当 时等号成立,
所以
∴ 时, 取得最大值为 .
21.(本题满分14分)本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 .
(文)解:(1)依题意, , ,
由 ,得 ,
设 ,
∴ ;
(2)如图,由 得 ,
依题意, ,设 ,线段 的中点 ,
则 , , ,
由 ,得 ,∴
(理)解:(1) 是偶函数,
即 ,
又 恒成立即
当 时
当 时, ,
当 时, ,
综上:
(2)
是偶函数,要使 在 上是减函数在 上是增函数,即 只要满足在区间 上是增函数在 上是减函数.
令 ,当 时 ; 时 ,由于 时,
是增函数记 ,故 与 在区间 上有相同的增减性,当二次函数 在区间 上是增函数在 上是减函数,其对称轴方程为 .
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
(文)解:(1) 过原点,
得 或
(2)(3)同理21
(理)解(1) ,所以 ,设
则 ,消去 ,得 ,…(2分)
解得 , ,所以 的坐标为 或
(2)由题意可知点 到圆心的距离为 …(6分)
(?)当 时,点 在圆上或圆外, ,
又已知 , ,所以 或
(?)当 时,点 在圆内,所以 ,
又已知 , ,即 或
结论:当 时, 或 ;当 时, 或
(3)因为抛物线方程为 ,所以 是它的焦点坐标,
点 的横坐标为 ,即
设 , ,则 , , ,
所以
直线 的斜率 ,则线段 的垂直平分线 的斜率
则线段 的垂直平分线 的方程为
直线 与 轴的交点为定点
23.(本题满分18分)本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
(文)解:(1)令 得 ,即 ;

(2)由 和

所以数列 是以2为首项, 为公差的等差数列,所以 .
解法一:数列 是正项递增等差数列,故数列 的公比 ,若 ,则由 得 ,此时 ,由 解得 ,所以 ,同理 ;若 ,则由 得 ,此时 组成等比数列,所以 , ,对任何正整数 ,只要取 ,即 是数列 的第 项.最小的公比 .所以 .………(10分)
解法二: 数列 是正项递增等差数列,故数列 的公比 ,设存在 组成的数列 是等比数列,则 ,即
因为 所以 必有因数 ,即可设 ,当数列 的公比 最小时,即 , 最小的公比 .所以 .
(3)由(2)可得从 中抽出部分项 组成的数列 是等比数列,其中 ,那么 的公比是 ,其中由解法二可得 .

所以
(理)解:(1) , , ,当 时,
=2,所以 为等比数列.
, .
(2) 由(1)可得

, ,
所以 ,且 .所以 的最小值为
(3)由(1)当 时,
当 时, , ,
所以对正整数 都有 .
由 , ,( 且 ), 只能是不小于3的奇数.
①当 为偶数时, ,
因为 和 都是大于1的正整数,
所以存在正整数 ,使得 , ,
, ,所以 且 ,相应的 ,即有 , 为“指数型和”;


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