珠海市2012年9月高三摸底考试科数学试题

一、：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．设全集 ，集合 则集合 =
A． B． C． D．

2． 已知实数 满足 的最大值为
A．—3 B．—2 C．1 D．2

3．函数 ， ，其中 ，则
． 均为偶函数　　　　 ． 均为奇函数
． 为偶函数 ， 为奇函数 ． 为奇函数 ， 为偶函数

4． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是
A．36B．108
C．72 D．180

5．已知 为不重合的两个平面，直线 那么“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且 ，若直线PA的方程为 ，则直线PB的方程是
A. B. C. D.
7.高考资网已知 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么， 等于
A. B. C. D. 4
8． 要得到函数 的图象，只要将函数 的图象
A．向左平移 单位 B．向右平移 单位
C．向左平移 单位 D．向右平移 单位

9．对１００只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表
雄性雌性总计
敏感５０２５７５
不敏感１０１５２５
总计６０４０１００

则下列说法正确的是：
A．在犯错误的概率不超过 的前提下认为“对激素敏感与性别有关”；
B．在犯错误的概率不超过 的前提下认为“对激素敏感与性别无关”；
C．有 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”；
D．有 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”；

10．设 为全集，对集合 ，定义运算“ ”，满足 ，则对于任意集合 ，则
A． B．
C． D．
二、题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
11．在△ABC中， ，则 .
12. 已知双曲线 的离心率为 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.
13. 不等式 的解集是 .

14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离是_____________.

15．（几何证明选讲选做题）

如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知函数 .
(1)求 的定义域；(2)设 是第二象限的角，且tan = ，求 的值.

17．（本小题满分12分）
一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：
(1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的．

18.（本小题满分14分）
如图1,在直角梯形 中, , , .将 沿 折起,使平面 平面 ,得到几何体 ,如图2所示.
(1) 求证: 平面 ；(2) 求几何体 的体积.

19.（本小题满分14分）
已知，圆C： ，直线 ： .
(1) 当a为何值时，直线 与圆C相切；
(2) 当直线 与圆C相交于A、B两点，且 时，求直线 的方程.

20.（本小题满分14分）
对于函数
(1)判断函数的单调性并证明； (2)是否存在实数a使函数f (x)为奇函数？并说明理由。

21.（本小题满分14分）
已知 ，点 在函数 的图象上，其中
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）设数列 的前 项积为 ，求 及数列 的通项公式；
（3）已知 是 与 的等差中项，数列 的前 项和为 ，求证： ．

珠海市2012年9月高三摸底考试
科数学试题与参考答案
一、：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．设全集 ，集合 则集合 =（ ）B
A． B．
C． D．
2． 已知实数 满足 的最大值为（ ）C
A．—3B．—2C．1D．2

3．函数 ， ，其中 ，则（ ）
． 均为偶函数　　　　 ． 均为奇函数
． 为偶函数 ， 为奇函数 ． 为奇函数 ， 为偶函数

4． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（ ）B
A．36B．108
C．72 D．180
5．已知 为不重合的两个平面，直线 那么“ ”是“ ”的（ ）A
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且 。若直线PA的方程为 ，则直线PB的方程是（ ）B
A. B. C. D.
7.高考资网已知 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么， 等于（ ）C
A. B. C. D. 4
8． 要得到函数 的图象，只要将函数 的图象( ) D
A．向左平移 单位 B．向右平移 单位
C．向左平移 单位 D．向右平移 单位
9．对１００只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表
雄性雌性总计
敏感５０２５７５
不敏感１０１５２５
总计６０４０１００

则下列说法正确的是：（ ）C
A．在犯错误的概率不超过 的前提下认为“对激素敏感与性别有关”；
B．在犯错误的概率不超过 的前提下认为“对激素敏感与性别无关”；
C．有 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”；
D．有 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”；
10．设 为全集，对集合 ，定义运算“ ”，满足 ，则对于任意集合 ，则 （ ） D
A． B． C． D．

二、题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
11．在△ABC中， ，则 . 1/5

12. 已知双曲线 的离心率为 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______. ，
13. 不等式 的解集是 .（-1，3）

14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离是_____________;1
15．（几何证明选讲选做题）

如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 。
(1)求 的定义域；(2)设 是第二象限的角，且tan = ，求 的值.
16．解：(1)由 得 （k∈Z), …3分
故 的定义域为｛x ,k∈Z｝…5分
(2)由 = ,得 ，而
且α是第二象限的角, 解得 = , = ,…9分
故 = = = = .…12分

17．（本小题满分12分）
一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：
(1) 标签的选取是无放回的；
(2) 标签的选取是有放回的．
17．解： (1) 无放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}， {2，3}，{2，4}， {3，4}，总数为2×6个 ……3分
两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1，2}，{2，3}，{3，4}总数为2×3个 ……5分
∴P= ； ……6分
(2) 有放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}， {2，3}，{2，4}， {3，4}，和（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），总数为2×6+4=16个……9分
两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1，2}，{2，3}，{3，4}总数为2×3个 ……11分
P= ……12分

18.（本小题满分14分）
如图1,在直角梯形 中, , , .将 沿 折起,使平面 平面 ,得到几何体 ,如图2所示.
(1) 求证: 平面 ；
(2) 求几何体 的体积.

18． 解:（Ⅰ）在图1中,可得 ,从而 ,故
取 中点 连结 ,则 ,又面 面 ,
面 面 , 面 ,从而 平面 , ……4分
∴
又 , ,
∴ 平面 ……8分
另解:在图1中,可得 ,从而 ,故
∵面ACD 面 ,面ACD 面 , 面 ,从而 平面
(Ⅱ) 由（Ⅰ）可知 为三棱锥 的高. ， ……11分
所以 ……13分
由等积性可知几何体 的体积为 ……14分

19.（本小题满分14分）
已知，圆C： ，直线 ： .
(1) 当a为何值时，直线 与圆C相切；
(2) 当直线 与圆C相交于A、B两点，且 时，求直线 的方程.
19．解：将圆C的方程 配方得标准方程为 ，则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2. ……………………………2分
(1) 若直线 与圆C相切，则有 . ……………………………………………4分
解得 . ……………………………………………………………………………………………………6分
(2) 解法一：过圆心C作CD⊥AB， ………7分
则根据题意和圆的性质，得
　　……………………………………………………………………………10分
解得 . ………………………………………………………………………………………………12分
（解法二：联立方程 并消去 ，得
.
设此方程的两根分别为 、 ，则用 即可求出a.）
∴直线 的方程是 和 .　………………………………………14分

20.（本小题满分14分）
对于函数
(1)判断函数的单调性并证明；
(2)是否存在实数a使函数f (x)为奇函数？并说明理由。
20．解：(1)函数f (x)的定义域是R ……2分
证明：设x1 < x2 ；
f (x1) ? f (x2) = a- -( a- )=
当 x1<x2 得 < 0
得f (x1) ? f (x2) < 0所以f (x1) < f (x2)
故此时函数f (x)在R上是单调增函数； ……6分

当 x1<x2 得 0
得f (x1) ? f (x2) 0所以f (x1) f (x2)
故此时函数f (x)在R上是单调减函数 ……10分
注：用求导法也可证明。
(2) f (x)的定义域是R，
由 ，求得 . …11分
当 时， ， ，
满足条件 ，故 时函数f (x)为奇函数 …14分
21.（本小题满分14分）
已知 ，点 在函数 的图象上，其中
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）设数列 的前 项积为 ，求 及数列 的通项公式；
（3）已知 是 与 的等差中项，数列 的前 项和为 ，求证： ．
21．解：（1）证明：由已知 ，∴ …2分
∵ ，两边取对数，得 …4分
∴ 是等比数列，公比为2，首项为 …5分
（2）由（1）得 ，∴ …6分

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