年高考数学总复习 12-1 几何证明选讲但因为测试 新人教B版
1. (2011•广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，N与⊙O相切，切点A，∠AB＝35°，则∠D＝( )
A．35° B．90°
C．125° D．150°
[答案] C
[解析] 连接BD，则∠AB＝∠ADB＝35°，由BC是直径，知∠BDC＝90°，所以∠D＝∠ADB＋∠BDC＝125°.
2．()如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则B－DN＝( )
A．6 B．3
C．2 D．4
[答案] A
[解析] ∵E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，
∴为BC的中点，连CF交AD于P，则P为AD的中点，由△BCF∽△DPF及为BC中点知，N为DP的中点，
∴B－DN＝12－6＝6，故选A.
(理)如图，E是▱ABCD边BC上一点，BEEC＝4，AE交BD于F，BFFD等于( )
A.45 B.49
C.59 D.410
[答案] A
[解析] 在AD上取点G，使AG?：GD＝1?：4，连结CG交BD于H，则CG∥AE，
∴BFFH＝BECE＝4，DHFH＝DGGA＝4，
∴BFFD＝45.
3．()(2010•广东中)如图，⊙O与⊙O′相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和，交A B的延长线于N，N＝3，NQ＝15，则PN＝( )
A．3 B.15
C．32 D．35
[答案] D
[解析] 由切割线定理知：
PN2＝NB•NA＝N•NQ＝3×15＝45，∴PN＝35.
(理)(2011•海淀期末)如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为( )
A.55 B.255
C.355 D.32
[答案] C
[解析] 延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF＝3，DB＝1，又∠AOB＝90°，所以AD ＝5，由相交弦定理知AD•DE＝DF•DB，即5DE＝3×1，解得DE＝355.
4.如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为( )
A．13 B.635
C.656 D.636
[答案] C
[解析] 过点A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG.
∵折叠后B点与E点重合，折痕为FG，
∴B与E关于FG对称．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.
∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABE∽Rt△DAH.
∴BEAB＝AHAD.∵AB＝12，AD＝10，AE＝12AD＝5，
∴BE＝122＋52＝13，∴FG＝AH＝BE•ADAB＝656.
5．()两个相似三角形，面积分别为16c2和49c2，它们的周长相差6c，则较大三角形的周长为( )
A．21c B．2c
C．14c D.9811c
[答案] C
[解析] 由 相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比知，周长之比为：4916＝74，设周长分别为7x和4x，则7x－4x＝6，∴x＝2，
∴较大三角形的周长为14c.
(理)如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC且ADDB＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是( )[
A.23 B.25
C.45 D.49
[答案] C
[解析] ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC＝ADAB2，
∵ADDB＝2，∴ADAB＝23，∴S△ADE＝49S△ABC，
∴S四边形DEBC＝59S△ABC，
∴S△ADES四边形DBCE＝45，故选C.
6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q，若∠BTC＝120°，AB＝4，则PQ•PB＝( )
A．2 B．3
C.3 D．23
[答案] B
[解析] 连接OC、AC，则OC⊥PC，
则O、C、T、B四点共圆，
∵∠BTC＝120°，∴∠COB＝60°，
故∠AOC＝120°.
由AO＝OC＝2知AC＝23，
在Rt△APC中，
∠ACP＝12∠AOC＝60°，
因此PC＝3.根据切割线定理得PQ•PB＝PC2＝3.
7．()(2011•西安质检)如图是某高速公路一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆的半径OA＝________米．
[答案] 377
[解析] 设⊙O的半径为R，则在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(102)2＋(7－R)2，解得R＝377米．
(理)(2011•深圳调研)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D，已知AD＝2，CB＝43，则CD＝________.
[答案] 23
[解析] 根据射影定理得CB2＝BD×BA，即(43)2＝BD(BD＋2)，得BD＝6，又CD2＝AD×BD＝12，
所以CD＝12＝23.
8．(2011•深圳调研)如图，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE＝________.
[答案] 377
[解析] ∵∠POD＝120°，OD＝OB＝1，PO＝2，
∴PD＝PO2＋OD2－2OD•PO•cos120°＝7，
由相交弦定理得，PE•PD＝PB•PC，
∴PE＝PB•PCPD＝1×37＝377.
9．()(2011•北京西城区模拟)如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA＝22，PC＝4，圆心O到BC的距离为3，则圆O的半径为________．
[答案] 2
[解析] 设圆O的半径为R.依题意得PA2＝PB•PC，
∴PB＝PA2PC＝2，BC＝PC－PB＝2，
∴R＝12BC2＋32＝2，即圆O的半径为2.
(理)(2010•广东中市四校联考)如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________．
[答案] 7
[解析] 由图可知，PA2＝PB•PC＝PB•(PB＋BC)＝3，∴PA＝3，∴∠AOP＝60°，
又∠AOD＝60°，∴∠POD＝120°，∵PO＝2，OD＝1，
∴cos∠POD＝22＋12－PD22×2×1＝－12，∴PD＝7.
10．(2011•杭州市高三联考)如图，圆O的直径AB＝1 0，弦DE⊥AB于点H，AH＝2.
(1)求DE的长；
(2)延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC＝25，求PD的长．
[解析] (1)连接AD，DB，
由于AB为圆O的直径，
∴AD⊥DB.
又AB⊥DE，DH＝HE，
∴DH2＝AH×BH＝2×(10－2)＝16，
DH＝4，DE＝8.
(2)PC切圆O于点C，PC2＝PD×PE，
∴(25)2＝PD(PD＋8)，∴PD＝2.
11.()(2011•广东汕头测试)如图，正△ABC的 边长为2，点，N分别是边AB，AC的中点，直线N与△ABC的外接圆的交点为P，Q，则线段P＝________.
[答案] 5－12
[解析] 设P＝x，则QN＝x，由相交弦定理可得P•Q＝B•A即x•(x＋1)＝1，解得x＝5－12.
(理)(2011•佛质检)如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝23a，∠OAP＝30°，则CP＝________.
[答案] 9a8
[解析] 因为点P是AB的中点，由 垂径定理知，OP⊥AB.在Rt△OPA中，BP＝AP＝acos30°＝32a.由相交弦定理知，BP•AP＝CP•DP，即32a•32a＝CP•23a，所以CP＝98a.
12．()(2011•惠州市模拟)如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心O，已知PA＝6，AB＝223，PO＝12，则⊙O的半径是________．
[答案] 8
[解析] 设⊙O的半径是R，∵PA•PB＝PC•PD＝(PO－R)(PO＋R)＝PO2－R2，
∴PA(PA＋AB)＝PO2－R2，
将PA＝6，AB＝223，PO＝12代入得R＝8.
(理)(2010•天津理)如下图，四边形ABCD是 圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PBPA＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为__________．
[答案] 66
[解析] 由割线定理知：PB•PA＝PC•PD，
又∵PA＝2PB，PD＝3PC，
∴PB•2PB＝13PD•PD，∴PB2＝16PD2，
∴PB＝66PD，又∵△PBC∽△PDA，∴BCAD＝PBPD＝66.
13．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________．
[答案] 99°
[解析] 连接OB、OC、AC，根据弦切角定理得，
∠EBC＝∠BAC，∠CAD＝∠DCF，
可得∠A＝∠BAC＋∠CAD＝12(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.
[点评] 可由EB＝EC及∠E求得∠ECB，由∠ECB和∠DCF求得∠BCD，由圆内接四边形对角互补求得∠A.
14．()(2010•辽宁)如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝12AD•AE，求∠BAC的大小．
[解析] (1)∵AD为∠BAC的角平分线[
∴∠BAE＝∠C AD
又∵∠AEB与∠ACB为AB?所对的圆周角
∴∠AEB＝∠ACD
∴△ABE∽△ADC.
(2)由(1)可知△ABE∽△ADC
故ABAE＝ADAC，
即AB•AC＝AD•AE ①
又S＝12AB•ACsin∠BAC且S＝12AD•AE
∴12AB•ACsin∠BAC＝12AD•AE ②
由①②式得 sin∠BAC＝1
∵∠BAC为三角形内角，∴∠BAC＝90°
(理)如图以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边的中点．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)连结OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值．
[解析] (1)在△OBE与△ODE中，
OB＝OD，OE＝OE.
∵E、O分别为BC、AB中点．
∴EO∥AC，∴∠EOB＝∠DAO，∠DOE＝∠ADO，
又∠OAD＝∠ADO，∴∠EOB＝∠DOE，
∴△OBE≌△ODE，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴ED是⊙O的切线．
(2)∠CAB＝45°，sin∠CAE＝1010.
15．()(2011•西太原模拟 )如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.
[证明] 证法一：连结BE.
因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD.
又因为AD⊥l，所以BE∥l.
所以∠DCE＝∠CEB.
因为直线l是圆O的切线，
所以∠DCE＝∠CBE，
所以∠CBE＝∠CEB，所以CE＝CB.
证法二：连结AC，BE，在DC延长线上取一点F.
因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点．
所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.
又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°，
所以∠BCF＝∠DAC.[
又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF.
又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB.
所以CE＝CB.
(理)如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是AB延长线上一点，且BD＝OB，直线D与圆O相交于点，T(不与A、B重合)，DN与圆O相切于点N，连接C，B，OT.
(1)求证：DT•D＝DO•DC；
(2)若∠DOT＝60°，试求∠BC的大小．
[解析] (1)证明：因D与圆O相交于点T，由切割线定理得，DN2＝DT•D，DN2＝DB•DA，
所以DT•D＝DB•DA，设半径OB＝r(r>0)，
因BD＝OB，且BC＝OC＝r2，
则DB•DA＝r•3r＝3r2，DO•DC＝2r•3r2＝3r2.
所以DT•D＝DO•DC.
(2)由(1)可知，DT•D＝DO•DC，且∠TDO＝∠CD，
故△DTO∽△DC，所以∠DOT＝∠DC.
根据圆周角定理得，∠DOT＝2∠DB，则∠BC＝30°.
16．(2011•新标全国，22)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知A E的长为，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋n＝0的两个根．
(1)证明：C，B，D，E四点共圆；
(2)若∠A＝90°，且＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．
[解析] (1)连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝n＝AE×AC，
即ADAC＝AEAB.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB.
因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．
(2)＝4，n＝6时，方程x2－14x＋n＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.
取CE的中点G，DB的中点F，分 别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝12(12－2)＝5.
故C，B，D，E四点所在圆的半径为52.
1．(2011•广东湛江高考调研)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2，AC＝25，则AB＝________.
[答案] 10
[解析] 由射影定理知，AC2＝AD•AB，
所以AB＝2522＝10.
2．如图所示，已知AB为半⊙O的直径，直线N切半圆于点C，AD⊥N于点D，BE⊥N于点E，BE交半圆于点F，AD＝3c，BE＝7c.(1)则⊙O的半径为________；(2)则线段DE的长为________．
[答案] 5c；221c
[解析] (1)连接OC.∵N切半圆于点C，∴OC⊥N.
∵AD⊥N，BE⊥N，∴AD∥OC∥BE.
∵OA＝OB，∴CD＝CE.
∴OC＝12(AD＋BE)＝5c.
∴⊙O的半径为5c.
(2)连接AF.∵AB为半⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°.∴∠AFE＝90°.
又∵∠ADE＝∠DEF＝90°，∴四边形ADEF为矩形．
∴DE＝AF，AD＝EF＝3c.
在RtABF中，BF＝BE－EF＝4c，AB＝2OC＝10c.
∴AF＝AB2－BF2＝102－42＝221，
∴DE＝221c.
3．(2010•广东)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝__________.
[答案] a2
[解析] 如图连结DE，BE?CD，∴CDEB为矩形，
∴DE⊥AB，DE又为中线，
∴AD＝DB＝a，
EF为中位线，∴EF＝a2.
[点评] 也可以用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
4.(2010•深圳市调研)如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E.若PA＝23，∠APB＝30°，则AE＝________.
[答案] 1077
[解析] ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，
在直角三角形PAO中，tan30°＝AOPA＝33.∵PA＝23，∴AO＝PA•33＝2，即圆O的半径为r＝2，
同理sin30°＝AOPO＝12，∴PO＝4.
∵D是OC的中点，∴OD＝DC＝1，从而BD＝BO＋OD＝2＋1＝3，PD＝PO＋OD＝4＋1＝5，
在三角形PAD中，由余弦定理得：AD2＝PA2＋PD2－2PA•PD•cos30°＝(23)2＋52－2×23×5×32＝7，∴AD＝7，再由相交弦定理得：AD•DE＝BD•DC，即7•DE＝3×1＝3，DE＝377，∴AE＝AD＋DE＝7＋377＝1077.
5．(2011•北京朝阳区统考)如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，直线CD交AB于点E.若AB＝3，ED＝2，则CB的长为________．
[答案] 3
[解析] 由切割线定理得，ED2＝EA•EB，
∴4＝EA(EA＋3)，
∴EA＝1，∵CB是⊙O的切线，∴EB⊥CB，
∴EB2＋CB2＝CE2，
又∵CD是⊙O的切线，∴CD＝CB，
∴42＋CB2＝(CB＋2)2，∴CB＝3.
6．(2011•北京西域区期末)如图所示，过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A，B两点，AB＝2AP，PT与圆C相切于T点．已知圆C的半径为2，∠CAB＝30°，则PT＝________.
[答案] 3
[解析] ∵AC＝2，∠CAB＝30°，
∴AB＝2ACcos30°＝2×2×32＝23，
∴AP＝12AB＝3，∴PB＝AP＋AB＝33，
∵PT是⊙C的切线，∴PT2＝AP•PB＝9，∴PT＝3.
7．(2011•广东理，15)如下图，过圆O外作一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.
[答案] 35
[解析] 由圆的切线性质可知∠PAB＝∠ACB，
又∠APB＝∠BAC，所以△PAB∽△ACB，
所以ABBC＝PBAB，而BC＝5，PB＝7，∴AB5＝7AB，
∴AB2＝35，AB＝35.
8．(2011•湖南理，11)如下图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．
[答案] 233
[解析] 如图，连结CE，OA，AB，∵A、E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，∴∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，
又OA＝2，∴AD＝3，OD＝BD＝1，
∴DF＝33，∴AF＝AD－DF＝233.
9．(2011•天津，13)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF?：FB?：BE＝4?：2?：1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．
[答案] 72
[解析] 由题意：AF•FB＝DF•FC＝2AFFB＝2
∴AF＝2，FB＝1，∴BE＝12，AE＝AF＋BF＋BE＝72.
由切割线定理得：CE2＝BE•AE＝12×72＝74.
∴CE＝72.
10．(2011•辽宁，22)如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB;
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A、B、G、F四点共圆．
[解析] (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.
故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝ ∠G EC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.
所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A、B、G、F四点共圆．
11.(2010•江苏)如图AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC
[解析] 连结OD、BD.
因为AB是圆O的直径，
所以∠ADB＝90°，AB＝2OB ，
因为DC是圆O的切线，
所以∠CDO＝90°.
又因为DA＝DC，所以∠A＝∠C，
于是△ADB≌△CDO，从而AB＝CO，即2OB＝OB＋BC，得OB＝BC.
故AB＝2BC.
12．(2010•新标全国理)如图，已知圆上的弧AC?＝BD?，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE×CD.
[解析] (1)因为AC?＝BD?.所以∠BCD＝∠ABC.
又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，
所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ ECB，故BCBE＝CDBC，
即BC2＝BE×CD.
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