注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．已知复数 是虚数单位，则复数 的虚部是
A． B． C． D．
2．设集合 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为 ( )
A． B． C． D．
3 ．已知 为实数,则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
4．已知实数x，y满足条件 的最大值为
A． B． C． D．
5．若一个底面是正三角形的三棱锥的俯视图如图所示,则其主视图与侧视图面积之比等于
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合,且双曲线的离心率为 ,则此双曲线的方程为
A． B． C． D．
7．定义下列四个函数中,当自变量 变为原来的2倍，函数值变为原来的4倍的函数是
A．函数 ，其中自变量 为球半径，函数值 为此球的体积
B．函数 ，其中自变量 为圆锥底面半径，函数值 为此圆锥的体积
C．函数 ，函数值 为数据 都扩大 倍后新数据的标准差
D．函数 ，其中自变量 为球的表面积，函数值 为此球的体积。
8．如右图所示的函数图像,则它所对应的函数解析式为
A． B．
C． D．
9．设在三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，则直线 与直线 的位置关系是
A．垂直 B．平行且不重合
C．重合 D．相交且不垂直
10．如图所示的程序框图，它的输出结果是
A． B． C． D．
11．在 中 ，向量 满足 ，下列说法正确的是 ① ；② ；③存在非零实数使得
A． ①② B．①③ C．②③ D．①②③
12． 已知 ， ，且 成等比数列，则
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1． 第Ⅱ卷共2页, 所有题目的答案考生须用0．5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试卷上; 如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效．作图时,可用2B铅笔，要字体工整，笔迹清晰．在草稿纸上答题无效．考试结束后将答题卡上交．
2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚，密封线内答题无效．
二、 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．
13．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图如图，甲班学生身高的众数与乙班学生中位数之差为_________
14．已知 且 ，则
15．若 表示等差数列 的 项和,若 ,则 ______
16．函数 ,在各项均为正数的数列 中对任意的 都有 成立，则数列 的通项公式为______
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，务必在答题纸指定的位置作答。
1７．在 中, 分别为 的对角,且 是 等差中项．
(1)求 的值．
(2)若 的面积为 , 为 边的中点,求中线 的最小值．
18．（本小题满分12分）
中国式过马路，是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即，“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关。我校对全校学生过马路方式进行调查，在所有参与调查的人中， “跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示：
跟从别人闯红灯从不闯红灯带头闯红灯
男生800450200
女生100150300
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 个人，已知“跟从别人闯红灯”的人中抽取45人，求 的值；
（2）在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为001，002，…，200;将女生的300人编号为201，202，…，500，用系统抽样的方法抽取4人参加”文明交通”宣传活动，若抽取的第一个人的编号为100，把抽取的4人看成一个总体，从这4人中任选取2人，求这两人均女生的概率；
19．（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱 中，底面是边长为2 的正三角形，侧棱长 ， 是侧棱 上任意一点， 分别为 的中点。
（1）求证： ；
（2）当面 平面 时,判断D点的位置。
(3)在（2）结论下，证明： 平面 。
20．在等比数列 中, 公比 ,且对任意的 ,都有
(1)求数列 的通项公式．
(2)若 表示数列 的 项和．前求数列 的前 项和 ,并求 的最小值．
21．若
(1)讨论 的单调区间．
(2)当 时,设 上在两不同点 处的切线相互平行,求 的最小值．
22．坐标系 中，已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，且点 在 上．
(1) 求椭圆 的方程；
(2) 若直线 : 同时与椭圆 和曲线 ： 相切，求直线 的方程．
(3)直线 : 与椭圆交于 且 ,求证: 为定值
数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．【答案】 C
【解析】
2．【答案】 A
【解析】图中阴影部分表示的集合为
3.【答案】 D
4．【答案】D
【解析】要求 的最大值,先求 的最小值．在 处取得最小值1,故 的最大值为
5． 【答案】 C
【解析】设正三角形的边长 ,则其高为 ,主视图与侧视图均为三角形且它们的高一致,主视图的底边长为2,侧视图的底边长为 ,故面积之比为
6．
【答案】 D
【解析】由题意得 ,故双曲线方程为 ,选D
7．【答案】 B
8．
【答案】 A
【解析】通过图像可以分析出 在 处有意义且为奇函数,增函数,函数值有上下界． 为偶函数, 值域为 , 为减函数且定义域中 ．故只有A．
9．【答案】A
【解析】两直线的斜率均存在 ,则由正弦定理得 ,故选C
10．
【答案】 C
【解析】
不成立,进入循环;
不成立,进入循环;
不成立,进入循环;
不成立,进入循环;
不成立,进入循环;
成立,退出循环;故输出
11．
【答案】 C
【解析】由题意知 为等腰三角形,由 知 为 边的中点,故 成立; 故 成立． 直线AP为 的角平分线, 表示 的角平分线方向上的向量,故 与 共线．
12．
【答案】 B
【解析】 成等比数列得 ,
故 ,选B．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．
13． 3.5
14．【解析】由 知 ,只能是 ,所以
15．【解析】方法一: ,解得 ， ．
方法二: 故
方法三:由 成等差数列得 ,又 ,故 .
16．【解析】 ,由 得 为对称轴,所以数列 是以 公差为 的等差数列.故 ,
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，务必在答题纸指定的位置作答。
1７．
【解析】
(1) 是等差中项
由正弦定理得:
故
在 中,
故
所以
(2)由题意知
故
由向量知识得
故
即
所以 的最小值为 ．
18．解：（Ⅰ）由题意，得
（Ⅱ）由系统抽样得的号码分别为100,225,350,475,
其中100号为男生,设为A1,而225,350,475都为女生,分别设为B1,B2,B3
从这4人中任选取2人所有的基本事件为
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共有6个
这两人均女生的基本事件为
(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共有3个
所以所求事件的概率
19．证明：(1)设AB中点为G，连结GE，GC。
为正三角形,且G为中点,
又EG∥ ，
又
又因为MN//AB,所以 面
而
(2)因为面 平面 ,
面 面 ,
面 面
所以
所以D为 的中点
(3)因为EG// ,且EG= , 为正三角形, ,
所以 , 四点共面且四边形 为正方形
所以
又AB⊥CE,
所以
平面
(3)方法二(略证):过E点作 于F,则F为靠近 四等分点,连结CF,CE．
可用初中三角形相似或建立平面坐标系利用向量,直线斜率等
方法证明 ,
又
所以
所以
所以
又
所以
20．
【解析】因为数列 是公比为 的等比数列,
所以 是公式为 的等比数列．
故
而
所以
整理得
所以
所以
(2) 数列 的 项和
所以
故
因为 ,所以
所以 为递增数列．
所以当 时 有最小值
求 的最小值思路二:
令 得
此时二次函数 在 时为增函数,
故当 即 时 有最小值 ．
21．
【解析】由 得
(1))令
则
①当 时, ,且 为开口向上的二次函数,
故 恒成立
所以 恒成立
所以 在定义域 上为增函数．
②当 时, ,且 为开口向下的二次函数,
故 恒成立
所以 恒成立
所以 在定义域 上为减函数．
③当 时,
有两根
又因为 ,所以 一定同号．
(i)当 时, 均不在定义域内
当 时 恒成立．
所以 在定义域 上为减函数．
(ii) 当 时
令 得,
令 得
故此时 的增区间为
减区间为
综上得:①当 时, 所以 在定义域 上为减函数．
②当 时, 的增区间为
减区间为
③当 时, 所以 在定义域 上为增函数．
(2)因为在 处的切线相互平行
所以
即
整理得
当 时
所以 的最小值为0．
22．
【解析】(1)因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ，
点 代入椭圆 ，得 ，即 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．
(2)直线 的斜率显然存在，设直线 的方程为 ，
，消去 并整理得 ，(*)
因为直线 与椭圆 相切，所以
整理得 ①
由直线 与 相切得,
即 ②
由①②得
故直线的方程为 ．
(3)设
由(*)式得
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