数学试卷（文科） 2013.04.
一、题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知全集 ，集合 ，则 .
2．若复数 满足 （ 是虚数单位），则 .
3．已知直线 的倾斜角大小是 ，则 .
4．若关于 的二元一次方程组 有唯一一组解，则实数 的取值范围是 .
5．已知函数 和函数 的图像关于直线 对称，
则函数 的解析式为 . 到渐近线的距离为 .
7．函数 的最小正周期 .
8．若 ，则目标函数 的最小值为 .
9．执行如图所示的程序框图，若输入 的值是 ，则输出 的值是 .
10．已知圆锥底面半径与球的半径都是 ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的
母线长为 ．
11．某中学在高一年级开设了 门选修课，每名学生必须参加这 门选修课中的一门，对于该年级的
甲乙 名学生，这 名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)．
12．各项为正数的无穷等比数列 的前 项和为 ，若 ， 则其公比 的取值范围是 .
13．已知函数 .当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是 .
14．函数 的定义域为 ，其图像上任一点 满足 ．
① 函数 一定是偶函数；
② 函数 可能既不是偶函数，也不是奇函数；
③ 函数 可以是奇函数；
④ 函数 如果是偶函数，则值域是 或 ；
⑤ 函数 值域是 ，则 一定是奇函数．
其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．
二、（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．已知 ， ，则 的值等于………………………（ ）
（A） . （B） . （C） . （D） .
16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是
直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（ ）
（A） . （B） . （C） . （D） .
17． 若直线 通过点 ，则 ………………………………（ ）
（A） . （B） .
（C） . （D） .
18．某同学为了研究函数 的性质，构造了如图所示的两个
边长为 的正方形 和 ，点 是边 上的一个动点，设 ，则 ．
那么，可推知方程 解的个数是………………………………………………………（ ）
（A） . （B） . （C） . （D） .
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．
如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是 米，底面的边长是 米．
（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；
（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到 米2)
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．
如图所示，扇形 ，圆心角 的大小等于 ，半径为 ，在半径 上有一动点 ，
过点 作平行于 的直线交弧 于点 ．
（1）若 是 的中点，求 ；
（2）设 ，求△ 周长的最大值及此时 的值．
21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆 .
（1）直线 过椭圆 的中心交椭圆于 两点， 是它的右顶点，当直线 的斜率为 时，
求△ 的面积；
（2）设直线 与椭圆 交于 两点，且线段 的垂直平分线过椭圆 与 轴
负半轴的交点 ，求实数 的值．
22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知函数 ．
（1）若函数 的图像过原点，求 的解析式；
（2）若 是偶函数，在定义域上 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时，令 ，问是否存在实数 ，使 在 上是减函数，
在 上是增函数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．从 中抽出部分项
, 组成的数列 是等比数列，设该等比数列的公比为 ，
其中 ．
（1）求 的值；
（2）当 取最小时，求 的通项公式；
（3）求 的值．
四区联考2014学年度第二学期高三数学
一．题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ； 6． ；
7． ；8．4；9． ；10． ；11． ；12． ；13． ；14．②③⑤
二、（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15． D ； 16．B； 17． B ；18．C
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．
解：（1）如图正四棱锥底面的边长是 米，高是 米
所以这个四棱锥冷水塔的容积是 ．
(2)如图，取底面边长的中点 ，连接 ，
答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．
解:（1）在△ 中， ，
由
得 ，解得 ．
（2）∵ ∥ ，∴ ，
在△ 中，由正弦定理得 ，即
∴ ,又 ．
记△ 的周长为 ，则
=
∴ 时， 取得最大值为 .
21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．
解：(1)依题意， ， ， 由 ，得 ，
设 ， ∴ ；
(2)如图，由 得 ，
依题意， ，设 ，线段 的中点 ，
则 ， ， ，
由 ，得 ，∴
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
解:（1） 过原点，
得 或
（2） 是偶函数， 即 ，
又 恒成立即
当 时
当 时， ，
当 时， ，
综上：
（3）
是偶函数，要使 在 上是减函数在 上是增函数，
即 只要满足在区间 上是增函数在 上是减函数．
令 ，当 时 ； 时 ，由于 时，
是增函数记 ，故 与 在区间 上
有相同的增减性，当二次函数 在区间 上是增函数在 上
是减函数，其对称轴方程为 ．
23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
解：（1）令 得 ，即 ；又
（2）由 和 ，
所以数列 是以2为首项， 为公差的等差数列，所以 ．
解法一：数列 是正项递增等差数列，故数列 的公比 ，若 ，则由 得 ，此时 ，由 解得 ，所以 ，同理 ；若 ，则由 得 ，此时 组成等比数列，所以 ， ，对任何正整数 ，只要取 ，即 是数列 的第 项．最小的公比 ．所以 ．………（10分）
解法二: 数列 是正项递增等差数列，故数列 的公比 ，设存在 组成的数列 是等比数列，则 ，即
因为 所以 必有因数 ，即可设 ，当数列 的公比 最小时，即 ， 最小的公比 ．所以 ．
（3）由（2）可得从 中抽出部分项 组成的数列 是等比数列，其中 ，那么 的公比是 ，其中由解法二可得 ．
，
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