湖北省2013年高考理科数学试卷

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数 学(理工类)
本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内,复数 ( 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知全集为 ,集合 , ,则
A. B.
C. D.
3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A. ∨ B. ∨ C. ∧ D. ∨
4.将函数 的图象向左平移 个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是
A. B. C. D.
5.已知 ,则双曲线 : 与 : 的
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
6.已知点 、 、 、 ,则向量 在 方向上的投影为
A. B. C. D.
7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 (t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是
A. B. C. D.
8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为 , , , ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有
A. B. C. D.
9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅
拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 ,则 的均值
A. B. C. D.
10.已知 为常数,函数 有两个极值点 , ,则
A. , B. ,
C. , D. ,
二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
(一)必考题(11?14题)
11.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)直方图中 的值为_________;
(Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间 内的户数为_________.
第11题图 第12题图
12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 _________.
13.设 ,且满足: , ,则 _________.
14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1,3,6,10, ,
第 个三角形数为 . 记第 个 边形数为 ,以下列出
了部分k边形数中第 个数的表达式:
三角形数 ,
正方形数 ,
五边形数 ,
六边形数 ,
………………………………………
可以推测 的表达式,由此计算 _________.
(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选,则按第15题作答结果计分.)
15.(选修4-1:几何证明选讲)
如图,圆 上一点 在直径 上的射影为 ,点 在半径 上的射影为 .若 ,则 的值为_________.
16.(选修4-4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系 中,椭圆 的参数方程为 ( 为参数, ). 在
极坐标系(与直角坐标系 取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴
为极轴)中,直线 与圆 的极坐标方程分别为 (m为非零常数)
与 . 若直线 经过椭圆 的焦点,且与圆 相切,则椭圆 的离心率为_________.
三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在△ 中,角 , , 对应的边分别是 , , . 已知 .
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△ 的面积 , ,求 的值.
18.(本小题满分12分)
已知等比数列 满足: , .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数 ,使得 ?若存在,求 的最小值;若不存在,说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图, 是圆 的直径,点 是圆 上异于 的点,直线 平面 , ,
分别是 , 的中点.
(Ⅰ)记平面 与平面 的交线为 ,试判断直线 与平面 的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l与圆 的另一个交点为 ,且点Q满足 . 记直线 与平面 所成的角为 ,异面直线 与 所成的角为 ,二面角 的大小为 ,求证: .
20.(本小题满分12分)
假设每天从甲地去乙地的旅客人数 是服从正态分布 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 .
(Ⅰ)求 的值;
(参考数据:若 ~ ,有 , , .)
(Ⅱ)某客运公司用 、 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次. 、 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求 型车不多于 型车7辆. 若每天要以不小于 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 型车、 型车各多少辆?
21.(本小题满分13分)
如图,已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ,长轴均为 且在 轴上,短轴长分别
为 , ,过原点且不与 轴重合的直线 与 , 的四个交点按纵坐标从
大到小依次为A,B,C,D.记 ,△ 和△ 的面积分别为 和 .
(Ⅰ)当直线 与 轴重合时,若 ,求 的值;
(Ⅱ)当 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得 ?并说明理由.
22.(本小题满分14分)
设 是正整数, 为正有理数.
(Ⅰ)求函数 的最小值;
(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)设 ,记 为不小于 的最小整数,例如 , , .
令 ,求 的值.


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