2013年高三数学第三次调研试卷(南通市有答案)

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南通市2013届高三第三次调研测试
数学参考答案及评分建议
一、题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1. 已知集合 , ,则 ▲ .
【答案】
2. 设复数 满足 ( 是虚数单位),则复数 的
模为 ▲ .
【答案】
3. 右图是一个算法流程图,则输出的 的值是 ▲ .
【答案】
4. “ ”是“ ”成立的 ▲ 条件.
(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”中选择一个正确的填写)
【答案】必要不充分
5. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆
机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布
直方图如右图所示.该路段限速标志牌提示机动
车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h,则该时
段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ .
【答案】
6. 在平面直角坐标系 中,抛物线 上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦
点到准线的距离为 ▲ .
【答案】4
7. 从集合 中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为
▲ .
【答案】
8. 在平面直角坐标系 中,设点 为圆 : 上的任意一点,点 (2 , )
( ),则线段 长度的最小值为 ▲ .
【答案】
9. 函数 , , 在 上
的部分图象如图所示,则 的值为 ▲ .
【答案】
10.各项均为正数的等比数列 中, .当 取最小值时,数列 的通项公式an= ▲ .
【答案】
11.已知函数 是偶函数,直线 与函数 的图象自左向右依次交
于四个不同点 , , , .若 ,则实数 的值为 ▲ .
【答案】
12.过点 作曲线 : 的切线,切点为 ,设 在 轴上的投影是点 ,过点 再作
曲线 的切线,切点为 ,设 在 轴上的投影是点 ,…,依次下去,得到第 个
切点 .则点 的坐标为 ▲ .
【答案】
13.在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,且AB , ,CD .
若 ,则 的值为 ▲ .
【答案】
14.已知实数a1,a2,a3,a4满足a1 a2 a3 ,a1a42 a2a4 a2 ,且a1 a2 a3,则a4的取值
范围是 ▲ .
【答案】
二、解答题
15.如图,在四棱锥 中,底面 是矩形,四条侧棱长均相等.
(1)求证: 平面 ;
(2)求证:平面 平面 .
证明:(1)在矩形 中, ,
又 平面 ,
平面 ,
所以 平面 . ………6分
(2)如图,连结 ,交 于点 ,连结 ,
在矩形 中,点 为 的中点,
又 ,
故 , , ………9分
又 ,
平面 ,
所以 平面 , ………12分
又 平面 ,
所以平面 平面 . ………14分
16.在△ABC中,角 , , 所对的边分别为 , ,c.已知 .
(1)求角 的大小;
(2)设 ,求T的取值范围.
解:(1)在△ABC中,
, ………3分
因为 ,所以 ,
所以 , ………5分
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 . ………7分
(2)
………11分
因为 ,所以 ,
故 ,因此 ,
所以 . ………14分
17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,
厚度均为4 mm,中间留有厚度为 的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为 的均匀介质,
两侧的温度差为 ,单位时间内,在单位面积上通过的热量 ,其中 为热传导系数.
假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系
数为 ,空气的热传导系数为 .)
(1)设室内,室外温度均分别为 , ,内层玻璃外侧温度为 ,外层玻璃内侧温度为 ,
且 .试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过
的热量(结果用 , 及 表示);
(2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计
的大小?
解:(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为 , ,
则 , ………2分
………6分
. ………9分
(2)由(1)知 ,
当 4%时,解得 (mm).
答:当 mm时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%. ………14分
18.如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 的右焦点为 ,离心率为 .
分别过 , 的两条弦 , 相交于点 (异于 , 两点),且 .
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线 , 的斜率之和为定值.
(1)解:由题意,得 , ,故 ,
从而 ,
所以椭圆的方程为 . ① ………5分
(2)证明:设直线 的方程为 ,②
直线 的方程为 ,③ ………7分
由①②得,点 , 的横坐标为 ,
由①③得,点 , 的横坐标为 , ………9分
记 , , , ,
则直线 , 的斜率之和为 ………13分
. ………16分
19.已知数列 是首项为1,公差为 的等差数列,数列 是首项为1,公比为 的等比
数列
(1)若 , ,求数列 的前 项和;
(2)若存在正整数 ,使得 .试比较 与 的大小,并说明理由.
解:(1)依题意, ,
故 ,
所以 , ………3分
令 , ①
则 ,②
① ②得, ,

所以 . ………7分
(2)因为 ,
所以 ,即 ,
故 ,
又 , ………9分
所以
综上所述,当 时, ;当 时, ;当 时, .
………16分
(注:仅给出“ 时, ; 时, ”得2分.)
20.设 是定义在 的可导函数,且不恒为0,记 .若对定义域内的每
一个 ,总有 ,则称 为“ 阶负函数”;若对定义域内的每一个 ,总有 ,
则称 为“ 阶不减函数”( 为函数 的导函数).
(1)若 既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数 的取值范围;
(2)对任给的“2阶不减函数” ,如果存在常数 ,使得 恒成立,试判断 是
否为“2阶负函数”?并说明理由.
解:(1)依题意, 在 上单调递增,
故 恒成立,得 , ………2分
因为 ,所以 . ………4分
而当 时, 显然在 恒成立,
所以 . ………6分
(2)①先证 :
若不存在正实数 ,使得 ,则 恒成立. ………8分
假设存在正实数 ,使得 ,则有 ,
由题意,当 时, ,可得 在 上单调递增,
当 时, 恒成立,即 恒成立,
故必存在 ,使得 (其中 为任意常数),
这与 恒成立(即 有上界)矛盾,故假设不成立,
所以当 时, ,即 ; ………13分
②再证 无解:
假设存在正实数 ,使得 ,
则对于任意 ,有 ,即有 ,
这与①矛盾,故假设不成立,
所以 无解,
综上得 ,即 ,
故所有满足题设的 都是“2阶负函数”. ………16分


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