数 学（理科）
本试题卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的．
1．设全集U是实数集R，集合M＝{x｜ ＞2x}，N＝{x｜ ≤0}，则（CUM）∩N＝
A．{x｜1＜x＜2} B．{x｜1≤x≤2}
C．{x｜1＜x＜≤2} D．{x｜1＜x＜2}
2．对任意复数z＝a＋bi（a，b ∈R），i为虚数单位，则下列结论中正确的是
A． z－ ＝2a B．z? ＝｜z｜2 C． ＝1 D． ≥0
3．双曲线 的离心率为
A． B． C． D．
4．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为
A．117 B．118 C．118．5 D．119．5
5．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若 ＝－2 ＋λ ，则λ＝
A．1 B．2 C．3 D．4
6．公差不为0的等差数列{ }的前21项的和等于前8项的和．若 ，则k＝
A．20 B．21 C．22 D．23
7．设函数f（x）＝ －lnx，则y＝f（x）
A．在区间（ ，1），（1，e）内均有零点
B．在区间（ ，1），（1，e）内均无零点
C．在区间（ ，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
D．在区间（ ，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． B．2 C．（2 ＋1）π D．（2 ＋2）π
9．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，则函数y＝f（｜x－1｜）－1的图象可能是
10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ＝2014 ，则 的值为
A．0 B．1 C．2013 D．2014
11．若 ＝ ＋ ＋ ＋…＋ （x∈R），则 ＋ ＋ ＋…＋
A．－ B． C．－ D．
12．四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，AD＝2BC＝4，且AB＋BD＝AC＋CD＝2 ，则四面体ABCD的体积的最大值是
A．4 B．2 C．5 D．
第Ⅱ卷 非选择题
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题。每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题．考生根据要求作答．
二、题：本大题共4小题，每小题5分．
13．圆 －2x＋my－2＝0关于抛物线 ＝4y，的准线对称，则m＝_____________
14．不等式组 对应的平面区域为D，直线y＝
k（x＋1）与区域D有公共点，则k的取值范围是______.
15．运行如下程序框图对应的程序，输出的结果是_______
16．设数列{ }是等差数列，数列{ }是等比数列，记数列
{ }，{ }的前n项和分别为 ， ．若a5＝b5，a6＝b6，
且S7－S5＝4（T6－T4），则 ＝____________.
三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝cos（2x－ ）＋sin2x－cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（Ⅱ）设函数g（x）＝[f（x）]2＋f（x），求g（x）的值域．
18．（本小题满分12分）
为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：
（Ⅰ）若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯
的概率的差是多少?
（Ⅱ）若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．
①求这两种金额之和不低于20元的概率；
②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是
等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED为正方
形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）证明：平面ADE∥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角D－AE－F的正切值．
20．（本小题满分12分）
已知圆C： 的半径等于椭圆E： （a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E
的右焦点F在圆C内，且到直线l：y＝x－ 的距离为 － ，点M是直线l与
圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．
21．（本小题满分12分）
对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有 ＞ 成立，则称函数 是D上
的J函数．
（Ⅰ）当函数f（x）＝m lnx是J函数时，求m的取值范围；
（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，
①试比较g（a）与 g（1）的大小；
②求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，…，xn，均有g（ln（x1＋x2＋…＋xn））
＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋…＋g（lnxn）．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4?1：几何证明选讲
如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点
作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，
若四边形BCON是平行四边形；
（Ⅰ）求AM的长；
（Ⅱ）求sin∠ANC．
23．（本小题满分10分）选修4?4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的极坐标方程为ρcos（θ－ ）＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝
2 cos（θ－ ）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4?5：不等式选讲
已知不等式2｜x－3｜＋｜x－4｜＜2a．
（Ⅰ）若a＝1，求不等式的解集；
（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．
2013年河南省十所名校高中毕业班阶段性测试(三)
数学(理科)?答案
（1）C （2）B （3）D （4）B （5）C （6）C
（7）D （8）B （9）B （10）C （11）D （12）A
（13）2 （14）
（15） （16）
（17）解：（Ⅰ）
.………………………………………………………………………………（3分）
的最小正周期为 ，由 得
函数图象的对称轴方程为 ……………………………………………（6分）
（Ⅱ）
…………………………………………………………………（8分）
当 时， 取得最小值 ，
当 时， 取得最大值2，
所以 的值域为 .………………………………………………………………（12分）
（18）解：（Ⅰ）由条件可知,处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是: .………………………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）①设“两种金额之和不低于20元”的事件为 ,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有 种,满足金额之和不低于20元的有6种,
故所求概率为 .………………………………………………………………（8分）
②根据条件, 的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为
5101520253035
=20.……………（12分）
（19）解：（Ⅰ）取 的中点 ，
的中点 ，连接 .
则 ，又平面 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
所以 又易得 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 ，所以平面 平面 .
……………………………………………（6分）
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 , , ， ，
， .
设平面 的一个法向量是 ，则
，
令 ，得 .…………………………………………………………………（9分）
设平面 的一个法向量是 ，则
令 ，得 .
所以 ，
易知二面角 为锐二面角，故其余弦值为 ，
所以二面角 的正切值为 .………………………………………………（12分）
（20）解：（Ⅰ）设点 ，则 到直线 的距离为
，即 ，………………………………………………（2分）
因为 在圆 内，所以 ，故 ；………………………………………………（4分）
因为圆 的半径等于椭圆 的短半轴长，所以 ，
椭圆方程为 .……………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）因为圆心 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆 相切， 是切点，故
为直角三角形，所以 ，
又 ，可得 ，………………………………………………………（7分）
，又 ，可得 ，………………………（9分）
所以 ，同理可得 ，…………………………………（11分）
所以 ，即 .…………………（12分）
（21）解：（Ⅰ）由 ，可得 ，
因为函数 是 函数，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 的取值范围为 .…………………………………（3分）
（Ⅱ）①构造函数 ，
则 ，可得 为 上的增函数，
当 时， ，即 ，得 ；
当 时， ，即 ，得 ；
当 时， ，即 ，得 .…………………（6分）
②因为 ，所以 ，
由①可知 ，
所以 ，整理得 ，
同理可得 ，…， .
把上面 个不等式同向累加可得
.…………………………（12分）
（22）解：（Ⅰ）连接 ，则 ，
因为四边形 是平行四边形，所以 ∥ ，
因为 是 的切线，所以 ，可得 ，
又因为 是 的中点，所以 ，
得 ，故 .……………………………（5分）
（Ⅱ）作 于 点，则 ，由（Ⅰ）可知 ，
故 .………………………………………………………………（10分）
（23）解：（Ⅰ） ，
即 ，可得 ，
故 的直角坐标方程为 .…………………………………………（5分）
（Ⅱ） 的直角坐标方程为 ，
由（Ⅰ）知曲线 是以 为圆心的圆，且圆心到直线 的距离 ，
所以动点 到曲线 的距离的最大值为 .………………………………（10分）
（24）解：（Ⅰ）当 时，不等式即为 ，
若 ，则 ， ， 舍去；
若 ，则 ， ；
若 ，则 ， ．
综上，不等式的解集为 ．……………………………………………………（5分）
（Ⅱ）设 ，则
， ，
， ，即 的取值范围为 ．………………………………………（10分）
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