第十三　统计案例

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　　1.理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法.
2.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、茎叶图，理解它们各自的特点，理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差，能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想，会用随机抽样的基本方法和样本估计总体 的思想解决一些简单的实际问题.
3.会作两个有关联变量的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.　　本重点：1.三种抽样方法的区别、联系及操作步骤.2.样本频率分布直方图和茎叶图.3.用样本估计总体的思想.
　　本难点：回归直线方程与独立性检验.　　统计多数以选择题和填空题形式考查，大题只在个别省的考题中出现过.难度属于基础 题和中档题.考点往往集中体现在抽样方法、频率分布图表这两个方面.另外，应注意统计题反映出的综合性与应用性，如与数列、概率等的综合，用统计方法提供决策、制定方案等，以此考查学生搜集处理信息及分析解决问题的能力.

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13.1　抽样方法与用样本估计总体

典例精析
题型一　抽样方法
【例1】某校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生抽取的人数为80人，则n的值为　　　.
【解析】根据分层抽样的意义，
n200＋1 200＋1 000＝801 000，解得n＝192.
【点拨】现实中正确的分层抽样一般有三个步骤：首先，辨明突出的统计特征和分类.其次，确定每个分层在总体上的比例.利用这个比例，可计算出样本中每组(层)应抽取的人数.最后，必须从每层中抽取独立简单随机样本.
【变式训练1】从某厂生产的802辆轿车中随机抽取80辆测试某项性能.请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.
【解析】第一步，将802辆轿车用随机方式编号.
第二步，从总体中剔除2辆(剔除方法可用随机数表法)，将剩余的800辆轿车重新编号(分别为001,002,003，…，800)，并分成80段.
第三步，在第一段001,002，…，010这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如005)作为起始号码.
第四步，将编号为005,015,025，…，795的个体抽出，组成样本.
题型二　频率分布直方图
【例2】(2 010湖南)如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图.

(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.
【解析】(1)依题意及频率分布直方图知0 .02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意知X～B(3,0.1)，因此
P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C23×0.12×0.9 ＝0.027，
P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001，
故随机变量X的分布列为
X0123
P0.7290.2430.027 0. 001
X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.
(或E(X)＝1×0.243＋2×0.027＋3×0.001＝0.3)
【点拨】从频率分布直方图读取数据时，要特别重视组距，纵坐标是频率除以组距，故长方形的面积之和为1.
【变式训练2】如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据数据填空：

(1)样本数据落在[10,14)内的频数为　 　；
(2)样本数据落在[6,10)内的频率为　 　；
(3)总体落在[2,6)内的频率为　 　.
【解析】(1)样本落在[10,14)内的频数为0.09×4×100＝36.
(2)样本落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32.
(3)样本落在[2,6)内的频率为0.02×4＝0.08，所以总体落在[2,6)内的频率约为0.08.
题型三　平均数、方差的计算
【例3】甲、乙两人在相同条下各射靶10次，每次命中环数如下：
甲　4　7　10　9　5　6　8　6　8　8
乙　7　8　6　8　6　7　8　7　5　9
试 问谁10次射靶的情况较稳定？
【解析】本题要计算两样本的方差，当样本平均数不是整数，且样本数据不大时，可用简化公式计算方差.
＝110(4＋7＋…＋8)＝7.1，
＝110(7＋8＋…＋9)＝7.1，
s2甲＝110(42＋72＋…＋82－10×7.12)＝3.09，
s2乙＝110(72＋82＋…＋92－10×7.12)＝1.29，
因为s2甲＞s2乙，所以乙10次射靶比甲10次射靶情况稳定.
【点拨】平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度就越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.
【变式训练3】(2010北京市东城区)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如右图.
(1)计算此样本的平均成绩及方差；
(2)现从此样本中随机抽出2名学生的成绩，设抽出分数为90分以上的人数为X，求随机变量X的分布列和均值.
【解析】(1)样本的平均成绩 ＝80；
方差为s2＝110[(92－80)2＋(98－80)2＋(98－80)2＋(85－80)2＋(85－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2 ＋(60－80)2＋(60－80)2]＝175.
(2)由题意，随机变量X＝0,1,2.
P(X＝0)＝C27C210＝715，P(X＝1)＝C13C17C210＝715，P(X＝2)＝115.
随机变量X的分布列为
X012
P
E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.
总结提高
1.统计的基本思想是用样本估计总体.这就 要求样本具有很好的代表性，而样本良好客观的代表性，则完全依赖抽样方法.
2.三种抽样方法中简单随机抽样是最基本的抽样方法，是其他两种方法的基础，它们的共同点都是等概率抽样.适用范围不同，要根据总体的具体情况 选用不同的方法.
3.对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计.
4.用样本估计总体，一般分成以下几个步骤：
先求样本数据中的最大值和最小值(称为极值)，再确定合适的组数和组距，确定分点(每个分点只属于一组，故一般采用半开半闭区间)，然后列出频率分布表(准确，查数据容易)，画频率 分布直方图.

13.2　两变量间的相关性、回归分析和独立性检验

典例精析
题型一　求回归直线方程
【例1】下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用(万元)的几组统计数据：
x23456
y2.23.85.56.57.0
(1)若y对x呈线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程y＝ x＋ ；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？
【解析】(1)因为 xiyi＝112.3， x2i＝4＋9＋16＋25＋36＝90，且 ＝4， ＝5，n＝5，
所以 ＝112.3－5×4×590－5×16＝12.310＝1.23， ＝5－1.23×4＝0.08，
所以回归直线方程为y＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，
所以估计当使用10年时，维修费用约为12.38万元.
【点拨】当x与y呈线性相关关系时，可直接求出回归直线方程，再利用回归直线方程进行计算和预测.
【变式训练1】某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据.
x3456
y2.5344.5
据相关性检验，y与x具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么y关于x的回归直线方程是　　　　　　　　.
【解析】先求得 ＝4.5， ＝3.5，由 ＝0.7x＋a过点( ， )，则a＝0.35，所以回归直线方程是 ＝0.7x＋0.35.
题型二　独立性检验
【例2】研究小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示：
种子灭菌种子未灭菌 合计
黑穗病26184210
无黑穗病50200250
合计76384460
试按照原试验目的作统计分析推断.
【解析】由列联表得：
a＝26，b＝1 84，c＝50，d＝200，a＋b＝210，c＋d＝250，a＋c＝76，b＋d＝384，n＝460.
所以2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝460×(26×200－184×50)2210×250×76×384≈4.804，
由于2≈4.804＞3.841，
所以有95%的把握认为种子灭菌与否与小麦发生黑穗病是有关系的.
【变式训练2】(2010东北三 省三校模拟)某 研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有　　　%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
超重不超重合计
偏高 415
不偏高312 15
合计71320
附：独立性检验临界值表
P(2≥k0)0.0250.0100.0050.001
k0 5.0246.6357.87910.828
(独立性检验随机变量2值的计算公式：2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))
【解析】由表可得a＋b＝5，c＋d＝1 5，a＋c＝7，b＋d＝13，ad＝48，bc＝3，n＝20，运用独立性检验随机变量2值的计算公式得2＝20×(48－3)25×15×7×13＝54091≈5.934，
由于2≈5.934＞5.024，所以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
总结提高
1.在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手.
2.样本的随机性导致由线性回归方程所作出的预报也具有随机性.

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