2012届高考数学知识梳理复习教案

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网


教案18 函数的单调性
一、前检测
1. 下列函数 中,满足 “对 ,当 时,都有 ”的是( B )
A. B. C. D.

2. 函数 和 的递增区间依次是( C )
A. B. C. D.

3. 已知函数 在 内单调递减,则 的取值范围是( C )
A. B. C. D.

二、知识梳理
1.函数的单调性:一般地,设函数 的定义域为 ,区间 ,如果对于区间 内的任意两个值 ,当 时都有 ,那么就称函数 在区间 上是单调 ( )函数,区间 称为 的 ( )区间.
解读:

2.判断函数单调性的常用方法:
(1)定义法: (2)图象法: (3)导数法: (4)利用复合函数的单调性:
解读:

3.关于函数单调性还有以下一些常见结论:
①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______;
②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性;
③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性;
解读:

4.求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等
解读:

三、典型例题分析
例1 求证: 在 上是增函数.
答案:略

变式训练:对于给定的函数 ,有以下四个结论:
① 的图象关于原点对称;② 在定义域上是增函数;③ 在区间 上为减函数,且在 上为增函数;④ 有最小值2。
其中结论正确的是 . 答案:①③④


小结与拓展:对 “对勾函数”的认识。


例2 已知函数 .满足对任意的 都有 成立,则 的取值范围是( A )
A. B. C. D.

变式训练:已知函数 ,若 则实数 的取值范围是 .
解析: 在 上是增函数,由题得 ,解得

小结与拓展:判断函数单调性的基本方法是定义法。

例3 (1)函数 的递增区间为___________; 答案:
(2)函数 的递减区间为_________。 答案:

变式训练1:求函数 的单调区间;
答案:递增区间为 ;递减区间为
变式训练2:已知 在[0, 1]上是减函数,则实数 的取值范围是____。
解:题中隐含a>0,∴2-ax在[0,1]上是减函数.∴y=logau应为增函数,且u=2-ax在[0,1]上应恒大于零.∴
∴1<a<2.

小结与拓展:复合函数单调性按照“同增异减”的法则判定

例4 函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.?
(1)求证:f(x)是R上的增函数;?
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.?
解:(1)设x1,x2∈R,且x1<x2,?
则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.
∴f(x2)>f(x1).?
即f(x)是R上的增函数.
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,?
∴f(2)=3,
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2),?
∵f(x)是R上的增函数,∴3m2-m-2<2,
解得-1<m< ,故解集为(-1, ).
小结与拓展:判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,关键是根据条判断 的符号,需要设法构造出 的因式。

变式训练:已知定义在区间 上的函数 满足 ,且当 时, ,
(1)求 的值;(2)判断 的单调性;(3)若 ,解不等式 。
答案:(1)令 可得 ;
(2)任取 且 则 ,
所以, 在区间 上单调递减;
(3)由 ,由 单调递减 ,解的: 或

四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)
1.知识:
2.思想与方法:
3.易错点:
4.反思(不足并查漏):




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