第十一 圆锥曲线

一、基础知识
1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即PF1+PF2=2a (2a>F1F2=2c).
第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即
(0<e<1).
第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。
2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为
(a>b>0)，
参数方程为 （ 为参数）。
若焦点在y轴上，列标准方程为
(a>b>0)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆
，
a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为 ，与右焦点对应的准线为 ；定义中的比e称为离心率，且 ，由c2+b2=a2知0<e<1.
椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则PF1=a+ex, PF2=a-ex.
5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为
；
2）斜率为k的切线方程为 ；
3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为
。
6．双曲线的定义，第一定义：
满足PF1-PF2=2a(2a<2c=F1F2, a>0)的点P的轨迹；
第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为
，
参数方程为 （ 为参数）。
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
。
8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线
(a, b>0),
a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为 离心率 ，由a2+b2=c2知e>1。两条渐近线方程为 ，双曲线 与 有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。
9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线 ，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则PF1=ex+a, PF2=ex-a；若P（x,y）在左支上，则PF1=-ex-a，PF2=-ex+a.
2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是 。
10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于，以线段F的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设F=p，则焦点F坐标为 ，准线方程为 ，标准方程为y2=2px(p>0)，离心率e=1.
11．抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点，
1）焦半径PF= ；
2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；
3）过焦点倾斜角为θ的弦长为 。
12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记OP=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。
13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0<e<1，则点P的轨迹为椭圆；若e>1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 。
二、方法与例题
1．与定义有关的问题。
例1 已知定点A（2，1），F是椭圆 的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3PA+5PF取最小值时，求点P的坐标。
[解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c= =3, .椭圆左准线的方程为 ，又因为 ，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知 ，则 PF=PQ。
所以3PA+5PF=3(PA+ PF)=3(PA+PQ)≥3A(A 左准线于)。
所以当且仅当P为A与椭圆的交点时，3PA+5PF取最小值，把y=1代入椭圆方程得 ，又x<0，所以点P坐标为
例2 已知P， 为双曲线C： 右支上两点， 延长线交右准线于，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：∠ F1=∠F1Q.
[证明] 记右准线为l，作PD l于D， 于E，因为 //PD，则 ，又由定义 ，所以 ，由三角形外角平分线定理知，F1为∠PF1P的外角平分线，所以∠ =∠F1Q。
2．求轨迹问题。
例3 已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。
[解法一] 利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程： =1（a>b>0）.F坐标为(-c, 0).设另一焦点为 。连结 ，OP，则 。所以FP+PO= (FA+A )=a.
所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>FO=c），将此椭圆按向量m=( ,0)平移，得到中心在原点的椭圆： 。由平移公式知，所求椭圆的方程为

[解法二] 相关点法。设点P(x,y), A(x1, y1)，则 ，即x1=2x+c, y1=2y. 又因为点A在椭圆 上，所以 代入得关于点P的方程为 。它表示中心为 ，焦点分别为F和O的椭圆。
例4 长为a, b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。
[解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x- ,0), B(x+ ,0), C(0, y- ), D(0, y+ ), 记O为原点，由圆幂定理知OA•OB=OC•OD，用坐标表示为 ，即
当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；
当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；
当a<b时，轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。
例5 在坐标平面内，∠AOB= ，AB边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。
[解] 设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ- )),设外心为P(x,y)，由中点公式知OB中点为 。
由外心性质知 再由 得
×tanθ=-1。结合上式有
•tanθ= ①
又 tanθ+ = ②
又
所以tanθ- = 两边平方，再将①，②代入得 。即为所求。
3．定值问题。
例6 过双曲线 (a>0, b>0)的右焦点F作B1B2 轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。
[证明] 设点B，H，F的坐标分别为(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0)，则F1，B1，B2的坐标分别为(-c, 0), (c, ), (c, )，因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以
①
所以

。
由①得
代入上式得
即 （定值）。
注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。
例7 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC经过定点。
[证明] 设 ，则 ，焦点为 ，所以 ， ， ， 。由于 ，所以 •y2- y1=0，即 =0。因为 ，所以 。所以 ，即 。所以 ，即直线AC经过原点。
例8 椭圆 上有两点A，B，满足OA OB，O为原点，求证： 为定值。
[证明] 设OA=r1,OB=r2,且∠xOA=θ,∠xOB= ，则点A，B的坐标分别为A(r1cosθ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在椭圆上有

即 ①
②
①+②得 （定值）。
4．最值问题。
例9 设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OA OB（O为原点），求AB的最大值与最小值。
[解] 由题设a=1，b= ,记OA=r1,OB=r2, ，参考例8可得 =4。设m=AB2= ,
因为 ，且a2>b2，所以 ，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以 。又函数f(x)=x+ 在 上单调递减，在 上单调递增，所以当t=1即OA=OB时，AB取最小值1；当 或 时，AB取最大值 。
例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为 ，若圆C： 1上点与这椭圆上点的最大距离为 ，试求这个椭圆的方程。
[解] 设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为 ，半径CA=1，因为AB≤BC+CA=BC+1，所以当且仅当A，B，C共线，且BC取最大值时，AB取最大值 ，所以BC最大值为
因为 ；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t, ,t，椭圆方程为 ，并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ)，则BC2=(2tcosθ)2+ =3t2sin2θ-3tsinθ+ +4t2=-3(tsinθ+ )2+3+4t2.
若 ，则当sinθ=-1时，BC2取最大值t2+3t+ ，与题设不符。
若t> ,则当sinθ= 时，BC2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.
所以椭圆方程为 。
5．直线与二次曲线。
例11 若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。
[解] 抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条是存在一对点P(x1,y1)， (-y1,-x1)，满足y1=a 且-x1=a(-y1)2-1，相减得x1+y1=a( ),因为P不在直线x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+
所以 此方程有不等实根，所以 ，求得 ，即为所求。
例12 若直线y=2x+b与椭圆 相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值。
[解] 二方程联立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ>0，得 <b< ；设两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2)，由韦达定理得PQ= 。所以当b=0时，PQ最大。
三、基础训练题
1．A为半径是R的定圆⊙O上一定点，B为⊙O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是________.
2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(>0)，则动点的轨迹是________.
3．椭圆 上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.
4．双曲线方程 ，则k的取值范围是________.
5．椭圆 ，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2的面积是________.
6．直线l被双曲线 所截的线段N恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为________.
7．ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为________.
8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.
9．已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么a=________.
10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点， 的取值范围是________.
11．已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个焦点，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。
12．已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，设AT=2a(2a< )；（iii）半圆上有相异两点，N，它们与直线l的距离P，NQ满足 求证：A+AN=AB。
13．给定双曲线 过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2，求线段P1P2的中点的轨迹方程。
四、高考水平测试题
1．双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是 =0，则此双曲线的标准方程是_________.
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，则∠A1FB1=_________.
3．双曲线 的一个焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任一点，以PF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为_________.
4．椭圆的中心在原点，离心率 ，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点横坐标为-1，到此准线异侧的焦点F1的距离为_________.
5．4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆 恰有一个公共点的_________条.
6．若参数方程 （t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是_________.
7．如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点，则m的范围是_________.
8．过双曲线 的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.
9．过坐标原点的直线l与椭圆 相交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F，则直线l的倾斜角为_________.
10．以椭圆x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的三角形最多可作_________个.
11．求椭圆 上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。
12．设F，O分别为椭圆 的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，点O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。
13．已知双曲线C1： (a>0)，抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。
（1）求证：C1，C2总有两个不同的交点。
（2）问：是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与SΔAOB的最值，若不存在，说明理由。
五、联赛一试水平训练题
1．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是_________.
2．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知OF=a，PQ=b，ΔOPQ面积为_________.
3．给定椭圆 ，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OP OQ，则离心率e的取值范围是_________.
4．设F1，F2分别是双曲线 (a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为，则的轨迹为_________.
5．ΔABC一边的两顶点坐标为B（0， ）和C（0， ），另两边斜率的乘积为 ，若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则AT的最小值为_________.
6．长为l(l<1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点到x轴的最短距离等于_________.
7．已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa，是抛物线上的点，设直线A，B与抛物线的另一个交点分别为1，2，当变动时，直线12恒过一个定点，此定点坐标为_________.
8．已知点P（1，2）既在椭圆 内部（含边界），又在圆x2+y2= 外部（含边界），若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________.
9．已知椭圆 的内接ΔABC的边AB，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、右顶点分别为D，E，直线DB与直线CE交于点P，当点A在椭圆上变动时，试求点P的轨迹。
10．设曲线C1： （a为正常数）与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。（1）求实数m的取值范围（用a表示）；
（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0<a< 时，试求ΔOAP面积的最大值（用a表示）。
11．已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）和B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线的方程。
六、联赛二试水平训练题
1．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：∠GAC=∠EAC。
2．求证：在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶点坐标都是有理数。
3．以B0和B1为焦点的椭圆与ΔAB0B1的边ABi交于Ci(i=0,1)，在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧 交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1 ，交AB0的延长线于 。求证：（1）点 与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；（2）P0，Q0，P1，Q1共圆。
4．在坐标平面内，从原点出发以同一初速度v0和不同发射角（即发射方向与x轴正向之间 的夹角）α(α∈[0,π],α≠ )射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。
5．直角ΔABC斜边为AB，内切圆切BC，CA，AB分别于D，E，F点，AD交内切圆于P点。若CP BP，求证：PD=AE+AP。
6．已知BC CD，点A为BD中点，点Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一点R，使BR=2RQ，CQ上找一点S，使QS=RQ，求证：∠ASB=2∠DRC。
答案：
基础训练题
1．圆。设AO交圆于另一点 是A关于 的对称点。则因为AB ，所以P在以 为直径的圆上。
2．圆或椭圆。设给定直线为y=±kx(k>0),P(x,y)为轨迹上任一点，则 。化简为2k2x2+2y2=m2(1+k2).
当k≠1时，表示椭圆；当k=1时，表示圆。
3．12．由题设a=10,b=6,c=8，从而P到左焦点距离为10e=10× =8,所以P到右焦点的距离为20-8=12。
4．-2<k<2或k<5.由(k-2)(5-k)<0解得k>5或-2<k<2.
5. 设两条焦半径分别为m,n，则因为F1F2=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即(m+n) 2-3mn=144.所以 ，
6．3x+4y-5=0.设(x1,y1),N(x2,y2)，则 两式相减得 -(y1+y2)(y1-y2)=0.由 ，得 。故方程y+1= (x-3).
7.-4.设B(x1,y1),C(x2,y2)，则 =0，所以y1+y2=-8，故直线BC的斜率为
8． =1。由渐近线交点为双曲线中心，解方程组 得中心为(2,1)，又准线为 ，知其实轴平行于y轴，设其方程为 =1。其渐近线方程为 =0。所以y-1= (x-1).由题设 ，将双曲线沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原点，其标准方程为 =1。由平移公式 平移后准线为 ，再结合 ，解得a2=9，b2=16，故双曲线为 =1。
9．2．曲线y2=ax关于点（1，1）的对称曲线为(2-y)2=a(2-x),
由 得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,从而 =
=1，所以a=2.
10．（2， ]。设P(x1,y1)及 ，由PF1=ex1+a
,PF2=ex1-a,PF1+PF2=2ex1, 所以 ，即 。因 ，所以 ，所以 即2<t≤2 .
11.解：由对称性，不妨设点P在第一象限，由题设F1F22=4 =4c2，又根据椭圆与双曲线定义
解得PF1=a1+a2,PF2=a1-a2.
在ΔF1PF2中，由余弦定理



从而
又sin∠F1PF2=
所以
12．解：以直线AB为x轴，AT的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由定义知，N两点既在抛物线y2=4ax上，又在圆[x-(a+r)]2+y2=r2上，两方程联立得x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0，设点，N坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则x1+x2=2r-2a.又A=P=x1+a，AN=NP=x2+a. AB=2r，所以
A+AN=x1+x2+2a=2r=AB.
得证。
13．解：若直线l垂直于x轴，因其过点A(2,1)，根据对称性，P1P2的中点为（2，0）。
若l不垂直于x轴，设l的方程为y-1=k(x-2)，即
y=kx+1-2k. ①
将①代入双曲线方程消元y得
(2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0. ②
这里 且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)>0,
设x1,x2是方程②的两根，由韦达定理
③
由①，③得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
=k(x1+x2)+2(1-2k)= ④
设P1P2的中点P坐标(x,y)，由中点公式及③，④得

消去k得

点（2，0）满足此方程，故这就是点P的轨迹方程。
高考水平测试题
1． 由椭圆方程得焦点为 ，设双曲线方程 ，渐近线为 由题设 ，所以a2=3b2,又 ,c2=a2+b2. 所以b2=12, a2=36.
2. 900。见图1，由定义得FA=AA1,FB=BB1，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3．相切，若P(x,y)在左支上，设F1为左焦点，F2为右焦点，为PF1中点，则O= PF2= (a-ex)，又PF1=-a-ex，所以两圆半径之和 (-a-ex)+a= (a-ex)=O，所以两圆外切。当P(x,y)在右支上时，同理得两圆内切。
4． 与F1对应的另一条准线为x=-11，因F1与到直线x=-11距离d1之比为e，且d1=xm+11=10.所以 ，所以F1=
5．充要。将y=2x+1代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2 (1-b2)=0. ①
若Δ=(4a2) 2-4(b2+4a2)a2 (1-b2)=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直线与椭圆有一个公共点。
6．y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) 2=4(x-m)，焦点为 它在直线y=2(x-1)上。
7．1≤m<5。直线过定点(0,1)，所以0 ≤1.又因为焦点在x轴上，所以5>m,所以1≤m<5。
8．3．双曲线实轴长为6，通径为4，故线段端点在异支上一条，在同支上有二条，一共有三条。
9． 或 。设直线l: y=kx与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)，把y=kx代入椭圆方程得(1+3k2)x2-6x+3=0，由韦达定理得
①
②
因F（1，0），AF BF，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即
x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0. ③
把①，②代入③得 ，所以倾斜角为 或
10．3．首先这样的三角形一定存在，不妨设A，B分别位于y轴左、右两侧，设CA斜率为k(k>0)，CA的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程为(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得x=0或 ，于是 ，CA=
由题设，同理可得CB= ,利用CA=CB可得
(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,
解得 k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①
对于①，当1<a< 时，①无解；当 时，k=1；当a> 时，①有两个不等实根，故最多有3个。
11．解 设焦点为F1，F2，椭圆上任一点为P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根据余弦定理得
F1F22=PF12+PF22-2PF1•PF2cosθ,
又PF1+PF2=2a，则4c2=(2a)2-2PF1•PF2(1+cosθ),再将PF1=a+ex0，PF2=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2 )(1+cosθ).
于是有
由0 ，得 ，所以 。因θ∈[0，π]，所以cosθ为减函数，故0
当2b2>a2即 时， ，arccos ，sinθ为增函数，sinθ取最大值 ；当2b2≤a2时，arccos ,θ∈[0,π]，则sinθ最大值为1。
12．解 设A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB斜率不为0，设为k，直线AB方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程并化简得
(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. ①
则x1,x2为方程①的两根，由韦达定理得
②
③
因为y1y2=k2(x1+c)(x2+c)，再由②，③得
所以 =x1x2+y1y2= ,O点在以AB为直径的圆内，等价 <0，即k2(a2c2-b4)-a2b2<0对任意k∈R成立，等价于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以0<e≤
若斜率不存在，问题等价于 即 ，综上
13．解 （1）由双曲线方程得 ，所以F1( ,0)，抛物线焦点到准线的距离 ，抛物线
①
把①代入C1方程得
②
Δ=64a2>0，所以方程②必有两个不同实根，设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a2<0，所以②必有一个负根设为x1,把x1代入①得y2= ,所以 （因为x1≠0），所以C1，C2总有两个不同交点。
（2）设过F1( ,0)的直线AB为my=(x+ a),由 得y2+4 may-12a2=0，因为Δ=48m2a2+48a2>0，设y1,y2分别为A，B的纵坐标，则y1+y2= ,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB= y1-y2•OF1= a• a• ，当且仅当m=0时，SΔAOB的面积取最小值；当m→+∞时，SΔAOB→+∞，无最大值。所以存在过F的直线x= 使ΔAOB面积有最小值6a2.
联赛一试水平训练题
1．m>5.由已知得 ，说明(x,y)到定点（0,-1）与到定直线x-2y+3=0的距离比为常数 ，由椭圆定义 <1，所以m>5.
2. 因为b=PQ=PF+QF= ,所以 。所以SΔOPQ= absinθ= .
3. 。设点P坐标为(r1cosθ,r1sinθ),点Q坐标为(-r2sinθ,r2cosθ)，因为P，Q在椭圆上，可得 ，RtΔOPQ斜边上的高为 ≤OF=c. 所以a2b2≤c2(a2+b2)，解得 ≤e<1.
4.以O为圆心，a为半径的圆。延长F1交PF2延长线于N，则 F2N，而F2N=PN-PF2=PF1-PF2=2a，所以O=a.
5.t∈(0,1]时ATmin= ,t>1时ATmin=t-2.由题设kAB•kAC=- ,设A(x,y)，则 (x≠0)，整理得 =1(x≠0)，所以AT2=(x-t)2+y2=(x-t)2+ (x-2t)2+2-t2.因为x≤2,所以当t∈(0,1]时取x=2t,AT取最小值 。当t>1时，取x=2，AT取最小值t-2.
6. 设点(x0,y0) ，直线AB倾斜角为θ，并设A(x0- ), B(x0+ ),因为A，B在抛物线上，所以
①
②
由①，②得 2x0cosθ=sinθ. ③
所以
因为l2<1，所以函数f(x)= .在（0，1]在递减，
所以 。当cosθ=1即l平行于x轴时，距离取最小值
7． 设 ，由A，，1共线得y1= ，同理B，，2共线得 ，设(x,y)是直线12上的点，则y1y2=y(y1+y2)-2px，将以上三式中消去y1,y2得
y02(2px-by)+y0•2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.
当x=a,y= 时上式恒成立，即定点为
8． 。由题设 且a2+2b2≤15，解得5≤b2≤6.
所以a+b≥ (t=b2-4∈[1,2])，而
，又t≤2可得上式成立。
9．解 设A(2cosθ, ), B(2cosα, sinα),C(2cosβ, sinβ)，这里α≠β，则过A，B的直线为lAB： ，由于直线AB过点F1(-1,0)，代入有 (sinθ-sinα)•(1+2cosθ)=2 sinθ(cosθ-cosα)，即2sin(α-θ)=sinθ-sinα=2 • ,故 ，即 • 。又lBD: •(x+2)= ，同理得 。lCE: (x-2)=
•(x-2).
两直线方程联立，得P点坐标为 ，消去 得点P(x,y)在椭圆 上（除去点(-2,0),(2,0)）.
10.解 （1）由 消去y得x2+2a2x+2a2m-a2=0,①设f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，问题（1）转化为方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况：
10．Δ=0，得 ，此时xp=-a2，当且仅当-a<-a2<a即0<a<1时适合；20。f(a)•f(-a)<0，当且仅当-a<m<a时适合；30。f(-a)=0得m=a，此时xp=a-2a2，当且仅当-a<a-2a2<a即0<a<1时适合。令f(a)=0得m=-a，此时xp=-a-2a2.由于-a-2a2<-a，从而m≠-a.综上当0<a<1时， 或-a<m≤a；当a≥1时，-a<m<a.
(2)ΔOAP的面积 因为0<a< ,故当-a<m≤a时，0<-a2+ ,由唯一性得xp=-a2+.当m=a时，xp取最小值。由于xp>0，从而 时取值最大，此时 ，故 ；当 时，xp=-a2，yp= ,此时 以下比较 与 的大小。令 ，得 ，故当0<a≤ 时， ，此时 ；当 时，有 ，此时
11．解：设A，B关于l的对称点分别为A1(x2,y2),B1(x1,y1)，则AA1中点 在l上，
所以 y2=k(x2-1) ①
又l AA1,所以
②
由①，②得

同理，由BB1中点 在l上，且l BB1,解得
设抛物线方程为y2=2px，将A1，B1坐标代入并消去p得k2-k-1=0.
所以 ，由题设k>0，所以 ，从而
所以直线l的方程为 ，抛物线C的方程为
联赛二试水平训练题
1．以A为原点，直线AC为x轴，建立直角坐标系，设C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB)，则直线DF的方程为
①
直线BC的方程为 ②
c×①-f×②得
(c-f)x+ ③
③表示一条直线，它过原点，也过DF与BC的交点G，因而③就是直线AG的方程。
同理
，直线AE的方程为
(c-f)x+ ④
③，④的斜率互为相反数，所以∠GAC=∠EAC。
2．证明 假设这样的闭折线存在，不妨设坐标原点是其中一个顶点，记它为A0，其他顶点坐标为： ，…， ，其中 都是既约分数，并记An+1=A0.若p与q奇偶性相同，则记p≡q，否则记p≠q，下面用数学归纳法证明。
bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n)，ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。
当k=1时，由 ，得 ，因为a1,b1互质，所以d1被b1整除，反之亦然（即b1被d1整除）。
因此b1=±d1，从而 不可能都是偶数（否则b1也是偶数，与互质矛盾）；不可能都是奇数，因为两个奇数的平方和模8余2不是4的倍数，也不可能是完全平方数，因此，a1≠c1,b1≡d1≡1，并且a1+c1≠0=a0+c0.
设结论对k=1,2,…,m-1≤n都成立，令
这里 是既约分数，因为每一段的长为1，所以 =1，与k=1情况类似：a≡c,d≡b≡1，又因为 ，分数 既约，所以bm是bbm-1的一个因子，bm≡1.
同理可知dm≡1,又am≡abm-1+bam-1（同理cm≡cdm-1+dcm-1）.
因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1.
所以am+cm≠am-1+cm-1，结论成立，于是在顶点数n+1为奇数时，an+1+cn+1≠a0+c0，故折线不可能是闭的。
3．证明 （1）由已知B0P0=B0Q0，并由圆弧P0Q0和Q0P0，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P1分别相内切于点Q0，P1，Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+ ，四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0，以及 。在B0P0或其延长线上，有B0P0=B0 ，从而可知点 与点P0重合。由于圆弧Q1P0的圆心C0，圆弧P0Q0的圆心B0以及P0在同一直线上，所以圆弧Q1P0和P0Q0相内切于点P0。
（2）现分别过点P0和P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T和P1T交于点T。又过点Q1引相应相切圆弧的公切线R1S1，分别交P0T和P1T于点R1和S1，连接P0Q1和P1Q1，得等腰ΔP0Q1R1和ΔP1Q1S1，由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得∠P0Q1P1=π- (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).
同理得∠P0Q0P1=π- (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0)，所以P0，Q0，Q1，P1共圆。
4．证明 引理：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是2ax0+b.
引理的证明：设(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0)，代入抛物线方程得
ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. ①
又
故①可化简成 (x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0, ②
因为②只有一个实根，所以k=2ax0+b.引理得证。
设P(x0,y0)为任一正交点，则它是由线y=x•tan •x2与y=x•tan •x2的交点，则两条切线的斜率分别为（由引理）

又由题设k1k2=-1，所以
③
又因为P(x0,y0)在两条抛物线上，所以 代入③式得
（※）
又因为tanα1,tanα2是方程 •t2-t+ =0的两根，所以
tanα1+tanα2= ④
tanα1•tanα2= 。 ⑤
把④，⑤代入（※）式得
，即
5．证明 以C为原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设∠ADC=θ，PD=r.各点坐标分别为D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ),B(x0,0),P(x1-rcosθ,rsinθ).
则lAB方程为 ，即x1x+x0•cotθ•y-x1x0=0,因为lAB与圆相切，可得x1• = x0x1•cotθ-x1x0，约去x1,再两边平方得
，所以 •x1. ①
又因为点P在圆上，所以(rcos )2+(x1-rsin )2= ，化简得r=2x1sin . ②
要证DP=AP+AE 2DP=AD+AE 2r= +x1tan -x1 1+sin -cos =4sin cos . ③
又因为 ，所以
因为 =(x1-x0-rcosθ,rsinθ), =(x1-rcosθ,rsinθ),
所以 (x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0. ④
把②代入④化简得
⑤
由①得x0=x1•
代入⑤并约去x1,化简得4sin22 -3sin2 =0，因为sin2 ≠0，所以sin2 = ，又因为sin = =cos ，所以sin -cos >0.
所以sin -cos = ，所以1+sin -cos = =4sin cos ，即③成立。所以DP=AP+AE。
6．证明 设BC=d，CD=b，BD=c，则AC=CQ= ，取BC中点，则A BC，以为原点，直线BC为x轴建立直角坐标系，则各点坐标分别为 ， ， ， ， ，因为 ，所以点 ，所以
因为0<∠DRC< ，0<∠ASQ<π，所以只需证tan∠ASQ=tan2∠DRC,即 ，化简得9d2-9c2-9b2=0即d2=b2+c2，显然成立。所以命题得证。

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