第十四 极限与导数

一、基础知识
1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有un-A<ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为 ，另外 =A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。类似地 表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果 f(x)=a, g(x)=b，那么 [f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)•g(x)]=ab,
3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且 f(x)存在，并且 f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若 存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作 (x0)或 或 ，即 。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数 (x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
6．几个常用函数的导数：（1） =0（c为常数）；（2） （a为任意常数）；（3） (4) ;(5) ;(6) ;（7） ；（8）
7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则
（1） ；（2） ；（3） （c为常数）；（4） ；（5） 。
8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u= (x)，已知 (x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u= (x))处可导，则复合函数y=f[ (x)]在点x处可导，且（f[ (x)] = .
9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则
11.极值的第一充分条：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极大值。
12．极值的第二充分条：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且 。（1）若 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若 ，则f(x)在x0处取得极大值。
13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使
[证明] 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)， .若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故 ，综上得证。
14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使
[证明] 令F(x)=f(x)- ,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使 =0，即
15．曲线凸性的充分条：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I, ,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I, ,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。
16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).
二、方法与例题
1．极限的求法。
例1 求下列极限：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
[解]（1） = ；
（2）当a>1时，
当0<a<1时，
当a=1时，
（3）因为
而
所以
（4）
例2 求下列极限：（1） (1+x)(1+x2)(1+ )…(1+ )(x<1)；
（2） ；（3） 。
[解] （1） (1+x)(1+x2)(1+ )…(1+ )
=
（2）
=
（3）
=

2．连续性的讨论。
例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。
[解] 当x∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，则x=t-1，当x∈[1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)•(2-t)2；同理，当x∈[1,2)时，令x+1=t，则当t∈[2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)= 所以
，所以 f(x)= f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。
3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。
[解] 因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0,y0)，则 ，切线的斜率为 ，所以切线方程为y-y0= ，即 。又因为此切线过点（2,0），所以 ，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0.
4．导数的计算。
例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2） ；（3）y=ecos2x；（4） ；（5）y=(1-2x)x(x>0且 )。
[解] （1） 3cos(3x+1).
(2)


（3）
（4）

（5）

5．用导数讨论函数的单调性。
例6 设a>0，求函数f(x)= -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。
[解] ，因为x>0,a>0，所以 x2+(2a-4)x+a2>0； x2+(2a-4)x+a+<0.
（1）当a>1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即 (x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当a=1时，对x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即 ，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当0<a<1时，令 ，即x2+(2a-4)x+a2>0，解得x<2-a- 或x>2-a+ ，因此，f(x)在(0,2-a- )内单调递增，在(2-a+ ,+∞)内也单调递增，而当2-a- <x<2-a+ 时，x2+(2a-4)x+a2<0，即 ，所以f(x)在(2-a- ,2-a+ )内单调递减。
6．利用导数证明不等式。
例7 设 ，求证：sinx+tanx>2x.
[证明] 设f(x)=sinx+tanx-2x，则 =cosx+sec2x-2，当 时， （因为0<cosx<1），所以 =cosx+sec2x-2=cosx+ .又f(x)在 上连续，所以f(x)在 上单调递增，所以当x∈ 时，f(x)>f(0)=0，即sinx+tanx>2x.
7.利用导数讨论极值。
例8 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。
[解] 因为f(x)在(0,+∞)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以 ，又 +2bx+1，所以 解得
所以 .
所以当x∈(0,1)时， ，所以f(x)在(0,1]上递减；
当x∈(1,2)时， ，所以f(x)在[1，2]上递增；
当x∈(2,+∞)时， ，所以f(x)在[2，+∞）上递减。
综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。
例9 设x∈[0,π],y∈[0,1]，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。
[解] 首先，当x∈[0,π],y∈[0,1]时，
f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x =(1-y)2x ，令g(x)= ,

当 时，因为cosx>0,tanx>x，所以 ；
当 时，因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以 ；
又因为g(x)在(0,π)上连续，所以g(x)在(0,π)上单调递减。
又因为0<(1-y)x<x<π，所以g[(1-y)x]>g(x)，即 ，
又因为 ，所以当x∈(0,π),y∈(0,1)时，f(x,y)>0.
其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=π时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.
当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx≥0.
综上，当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时，f(x,y)取最小值0。
三、基础训练题
1． =_________.
2．已知 ，则a-b=_________.
3． _________.
4． _________.
5．计算 _________.
6．若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数，且 存在，则 _________.
7．函数f(x)在(-∞,+∞)上可导，且 ，则 _________.
8．若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_________.
9．函数f(x)=x-2sinx的单调递增区间是_________.
10．函数 的导数为_________.
11．若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，求实数a.
12.求sin290的近似值。
13．设0<b<a< ,求证：
四、高考水平练习题
1．计算 =_________.
2．计算 _________.
3．函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是_________.。
4．函数 的导数是_________.
5．函数f(x)在x0邻域内可导，a,b为实常数，若 ，则 _________.
6．函数f(x)= ex(sinx+cosx),x 的值域为_________.
7．过抛物线x2=2py上一点(x0,y0)的切线方程为_________.
8．当x>0时，比较大小：ln(x+1) _________x.
9.函数f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值为_________，最小值为_________.
10．曲线y=e-x(x≥0)在点(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为_________.
11．若x>0，求证：(x2-1)lnx≥(x-1)2.
12．函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数 是减函数，且 >0，x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程，另设g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0), 表示m；（2）证明：当x∈(0,+∞)时，g(x)≥f(x)；（3）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥ 在(0,+∞)上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。
13.设各项为正的无穷数列{xn}满足lnxn+ ,证明：xn≤1(n∈N+).
五、联赛一试水平训练题
1．设n={（十进制）n位纯小数0• 只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是n中元素的个数，Sn是n中所有元素的和，则 _________.
2．若(1-2x)9展开式的第3项为288，则 _________.
3．设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，
，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为_________.
4．曲线 与 的交点处的切线夹角是_________.
5．已知a∈R+，函数f(x)=x2eax的单调递增区间为_________.
6．已知 在(a,3-a2)上有最大值，则a的取值范围是_________.
7．当x∈(1,2]时，f(x)= 恒成立，则y=lg(a2-a+3)的最小值为_________.
8．已知f(x)=ln(ex+a)(a>0)，若对任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式m-f-1(x)+ln[ ]<0恒成立，则实数m取值范围是_________.
9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0<a<b，证明：0<g(a)+g(b)- <(b-a)ln2.
10.(1)设函数f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1)，求f(x)的最小值；（2）设正数p1,p2,…, 满足p1+p2+p3+…+ =1，求证：p1log2p1+p2 log2p2+…+ log2 ≥-n.
11.若函数gA(x)的定义域A=[a,b)，且gA(x)= ,其中a,b为任意的正实数，且a<b，（1）求gA(x)的最小值；
（2）讨论gA(x)的单调性；
（3）若x1∈Ik=[k2,(k+1)2],x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2]，证明：
六、联赛二试水平训练题
1．证明下列不等式：（1） ；
（2） 。
2．当0<a≤b≤c≤d时，求f(a,b,c,d)= 的最小值。
3．已知x,y∈(0,1)求证：xy+yx>1.

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