●考点目标定位
1.理解函数的概念，了解映射的概念.
2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.
4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.
5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.
6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
●复习方略指南
基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石.求反函数，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查（如全国2004年第2题），也有综合考查（如江苏2004年第22题）.函数的图象、图象的变换是高考热点（如全国2004年Ⅳ，北京2005年春季理2），应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.
特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.
复习本章要注意：
1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化.
2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等.
3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题.
4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.
5.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.
2.1函数的概念
●知识梳理
1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）x∈A}叫做函数的值域.
2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.
由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.
特别提示
函数定义的三要素是理解函数概念的关键，用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.
●点击双基
1.设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是
A.f:x→y=xB.f:x→y=
C.f:x→y=3－xD.f:x→y=log2（1+x）
解析：指数函数的定义域是R，值域是（0，+∞），所以f是x→y=3－x.
答案：C
2.设M={x－2≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是
解析：A项定义域为［－2，0］，D项值域不是［0，2］，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B.
答案：B
3.（2004年全国Ⅰ，理2）已知函数f（x）=lg ，若f（a）=b，则f（－a）等于
A.bB.－bC. D.－
解析：f（－a）=lg =－lg =－f（a）=－b.
【答案】B
4.（2004年全国Ⅲ，理5）函数y= 的定义域是
A.［－ ，－1）∪（1， ］B.（－ ，－1）∪（1， ）
C.［－2，－1）∪（1，2］D.（－2，－1）∪（1，2）
解析： － ≤x＜－1或1＜x≤ .∴y= 的定义域为［－ ，－1）∪（1， ］.
答案：A
5.（2004年浙江，文9）若函数f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a等于
A. B. C. D.2
解析：f（x）=loga（x+1）的定义域是［0，1］，∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2.
当a＞1时，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；
当0＜a＜1时，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，与值域是［0，1］矛盾.
综上，a=2.
答案：D
●典例剖析
【例1】试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）= ，g（x）= ；
（2）f（x）= ，g（x）=
（3）f（x）= ，g（x）=（ ）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）= ，g（x）= ；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.
剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.
解：（1）由于f（x）= =x，g（x）= =x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
（2）由于函数f（x）= 的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）= 的定义域为R，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）= =x，g（x）=（ ）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（4）由于函数f（x）= 的定义域为{xx≥0}，而g（x）= 的定义域为{xx≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.
（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.
【例2】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.
剖析：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射.
答案：98
深化拓展
设集合A中含有4个元素，B中含有3个元素，现建立从A到B的映射f:A→B，且使B中每个元素在A中都有原象，则这样的映射有___________________个.
提示：因为集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，根据题意，A中必须有2个元素有同一个象，因此，共有C A =36个映射.
答案：36
【例3】（2004年广东，19）设函数f（x）=1－ （x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1.
剖析一：f（a）=f（b） 1－ =1－ （1－ ）2=（1－ ）2 2ab=a+b≥2 ab＞1.
证明：略.
剖析二：f（x）=
证明：f（x）在（0，1］上是减函数，在（1，+∞）上是增函数.由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且 －1=1－ ，即 + =2 a+b=2ab≥2 ab＞1.
评注：证法一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法.
●闯关训练
夯实基础
1.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是
A.2B.3C.4D.5
解析：由2n＋n＝20求n，用代入法可知选C.
答案：C
2.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是
A.10%B.15%C.18%D.20%
解析：设降价百分率为x%，
∴2000（1－x%）2=1280.解得x=20.
答案：D
3.（2004年全国Ⅲ，理11）设函数f（x）= 则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为
A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］
解析：f（x）是分段函数，故f（x）≥1应分段求解.
当x＜1时，f（x）≥1 （x+1）2≥1 x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.
当x≥1时，f（x）≥1 4－ ≥1 ≤3 x≤10，∴1≤x≤10.
综上所述，x≤－2或0≤x≤10.
答案：A
4.（2004年浙江，文13）已知f（x）= 则不等式xf（x）+x≤2的解集是___________________.
解析：x≥0时，f（x）=1，
xf（x）+x≤2 x≤1，∴0≤x≤1；
当x＜0时，f（x）=0，
xf（x）+x≤2 x≤2，∴x＜0.综上x≤1.
答案：{xx≤1}
5.（2004年全国Ⅳ，文）已知函数y=log x与y=kx的图象有公共点A，且A点的横坐标为2，则k的值等于
A.－ B. C.－ D.
解析：由点A在y=log x的图象上可求出A点纵坐标y=log 2=－ .又A（2，－ ）在y=kx图象上，－ =k?2，∴k=－ .
答案：A
培养能力
6.如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y=f（x）.
（1）求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.
解：（1）这个函数的定义域为（0，12）.
当0＜x≤4时，S=f（x）= ?4?x=2x；
当4＜x≤8时，S=f（x）=8；
当8＜x＜12时，S=f（x）= ?4?（12－x）=2（12－x）=24－2x.
∴这个函数的解析式为f（x）=
（2）其图形为
由图知，［f（x）］max=8.
7.若f:y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.
解：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1） 或（2）
∵a∈N，∴方程组（1）无解.
解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
8.如果函数f（x）=（x+a）3对任意x∈R都有f（1+x）=－f（1－x），试求f（2）+f（－2）的值.
解：∵对任意x∈R，总有f（1+x）=－f（1－x），
∴当x=0时应有f（1+0）=－f（1－0），
即f（1）=－f（1）.∴f（1）=0.
又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3.
故有（1+a）3＝0 a=－1.∴f（x）=（x－1）3.
∴f（2）+f（－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26.
探究创新
9.集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的个数是多少？
解：∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，
∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.
当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；
当f（a）、f（b）、f（c）中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C ?A =6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.
评述：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想.
●思悟小结
1.本节重点内容是函数概念、定义域、值域，难点是映射及其意义.
2.理解映射的概念，应注意以下几点：
（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个系统；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；
（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；
（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
3.函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，即分式中分母应不等于0；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0，负分数指数幂中，底数应大于0；对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1……实际问题中还需考虑自变量的实际意义.若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.
●教师下载中心
点睛
1.复习本节时，教师应先指导学生看课本，并对课本上的重要知识点归纳总结，对课本上的典型例题、典型习题要让学生再做，并注重一题多解、一题多变.
2.画分段函数的图象，求分段函数的定义域、值域是本节的一个难点.时，要指导学生按x的特点分好段，并向学生指明分段函数其实是一个函数，只是由于该函数在自变量取值的各个阶段其对应关系不一样才以分段式给出，因此它的定义域、值域应是各阶段相应集合的并集.
拓展题例
【例1】设f（x）是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，当－1＜x≤1时，f（x）=2x－1，求当1＜x≤3时，函数f（x）的解析式.
解：设1＜x≤3，则－1＜x－2≤1，又对任意的x，有f（x）+f（x+2）=0，∴f（x+2）=－f（x）.∴f（x－2）=－f［（x－2）+2］=－f（x）.又－1＜x－2≤1时，f（x－2）=2（x－2）－1=2x－5，∴f（x）=－f（x－2）=－2x+5（1＜x≤3）.
评述：将1＜x≤3转化成－1＜x－2≤1，再利用已知条件是解本题的关键.
【例2】设m=（log2x）2+（t－2）log2x+1－t，若t在区间［－2，2］上变化时，m值恒正，求x的取值范围.
解：由m=［log2x+（t－1）］（log2x－1）＞0，得
①或 ②
在①中，（log2x－1）+t＞0对于t∈［－2，2］恒成立时，应有log2x－1＞2，即x＞8；
在②中，（log2x－1）+t＜0对于t∈［－2，2］恒成立时，应有log2x－1＜－2，即0＜
x＜ .
综上，得x＞8或0＜x＜ .
评述：本题还可用如下方法求解：m=（log2x－1）t+［（log2x）2－2log2x+1］关于变量t的图象是直线，要t∈［－2，2］时m值恒正，只要t=－2和2时m的值恒正，即有
∴log2x＞3或log2x＜－1.
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