第一讲 计数原理、二项式定理
【备考策略】
根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：
1．复习时要注意控制难度，以中低档题为主；
2．注意各知识点的交汇，如统计与概率，计数原理与概率等；
3．统计部分应重视茎叶图的复习，概率部分应重视条件概率，相互独立事件同时发生的概率和几何概型；程序框图应有所降温。
【最新考纲透析】
1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理
（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
2．排列与组合
（1）理解排列、组合的概念；
（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；
（3）能解决简单的实际问题。
3．二项式定理
（1）能用计数原理证明二项式定理；
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
【核心要点突破】
要点考向1：利用分步加法和分步乘法计数原理计数
考情聚焦：1．两个计数原理是排列、组合的基础，又是古典概率的必要工具，在每年的高考中都直接或间接考查。
2．多在选择、填空题中出现，属中档或较难题目。
考向链接：1．“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步。分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘。
2．对于较复杂的问题，一般要分类讨论，此时要注意分类讨论的对象和分类讨论的标准。
例1：用1，2，3这三个数字组成四位数，要求这三个数字必须都使用，
但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（ ）
A．9个B．12个C．18个D．36个
【解析】选C.先选取使用两次的数字有 种，然后将剩余的两个数字全排列有 种，再将使用两次的数字插入到这两个数字之间有 种，故共有 =18种组合方式.
要点考向2：利用排列组合计数问题
考情聚焦：1．在高考题中可单独考查，也可与古典概型结合起来考查。常与两个计数原理交汇命题，是各省市高考的热点。
2．以选择、填空题的形式呈现，属中档题或较难题目。
考向链接：解排列组合综合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手。“分析”就是找出题目的条件、结论。哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决。
例2：（2010?北京高考理科?Ｔ4）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】本题考查排列组合的相关知识。所用技巧：有序排列无序组合、不相邻问题插空法。
【思路点拨】先排8名学生，再把老师插入到9个空中去。
【规范解答】选A。8名学生共有 种排法，把2位老师插入到9个空中有 种排法，故共有 种排法。
【方法技巧】解决排列组合问题常用的方法与技巧：（1）有序排列无序组合；（2）不相邻问题插空法：可以把要求不相邻的元素插入到前面元素间的空中；（3）相邻问题捆绑法。
要点考向3：二项式定理
考情聚焦：1．二项展开式的指定项、二项式系数和各项的系数是高考的重点。常与组合数、幂的运算交汇命题。
2．多出现在选择题、填空题中，属容易题或中档题。
例3：（2010?陕西高考理科?Ｔ4） （ ）展开式中 的系数为10，则实数 等于（ ）
（A）-1 （B） (C) 1 (D) 2
【命题立意】本题考查二项式定理的通项公式的应用及运算能力，属保分题。
【思路点拨】
【规范解答】选D ，令 ，所以 ，所以
【高考真题探究】
1．（2010?山东高考理科?Ｔ8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种
【命题立意】本题考查排列组合的基础知识，考查分类与分步计数原理，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.
【思路点拨】根据甲的位置分类讨论.
【规范解答】选B，分两类：第一类：甲排在第一位，共有 种排法；第二类：甲排在第二位，共有 种排法，所以共有编排方案 种，故选B.
【方法技巧】排列问题常见的限制条件及对策
1、有特殊元素或特殊位置，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置.
2、元素必须相邻的排列，将必须相邻的的元素捆绑，作为一个整体，但要注意其内部元素的顺序.
3、元素不相邻的排列，先排其他元素，然后“插空”.
4、元素有顺序限制的排列.
2．（2010?天津高考理科?Ｔ１0）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种
【命题立意】本题考查分类计数原理，排列组合等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】先分步再排列
【规范解答】先涂色点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能：
1、B与E相同时，依次涂点F,C,D,A，涂法分别有3,2,2,2种；
2、B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能：
（1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：
①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；
②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法。
（2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：
①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；
②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法。
所以不同的涂色方法有
。
【方法技巧】解题的关键是处理好相交线端点的颜色问题，解决排列组合应用题，要做到合理的分类，准确的分类，才能正确的解决问题。
3．（2010?辽宁高考理科?Ｔ13） 的展开式中的常数项为___-5______.
【命题立意】考查了二项式的展开式，
【思路点拨】展开式中的常数项只可能是 中的常数项与 中的常数项的积和 中的一次项与 中的 项的积以及 中的二次项与 中的 项积的和
【规范解答】
【方法技巧】
1、分清常数项是如何产生的。展开式中的常数项并不是 中的常数项与 中的常数项的积，而是 中的各项与 的展开式中的项的乘积中各常数项的和。
2、 展开式中第k+1项Tk+1＝ ，不要漏掉负号。
4．（2010?安徽高考理科?Ｔ12） 展开式中， 的系数等于________。
【命题立意】本题主要考查二项式定理，考查考生对二项式定理理解认知的水平。
【思路点拨】方法1：写出展开式的通项，进而确定 的项及其系数。
方法2：要得到 项，必须 出现4次， 出现2次，即 ，这样直观快捷。
【规范解答】方法1： 展开式的通项为：
，当且仅当 时，能得到 的项，此时 ，所以 的系数等于15。
方法2： 所以 的系数等于15。
答案：15
5．（2010?浙江高考理科?Ｔ17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.
【命题立意】本题考查排列组合的相关知识，考查数学的应用能力。
【思路点拨】可以先安排上午的测试项目，再安排下午。
【规范解答】记4位同学分别为：A、B、C、D。则上午共有 =24种安排方式。不妨先假定上午如表格所示安排方式，
项目身高与体重立定跳远肺活量握力台阶
上午ABCD
下午
则下午可如下安排：BADC、BCAD、BCDA、BDAC、CABD、CADB，CDAB、CDBA，DABC、DCAB、DCBA，共11种安排方式。因此，全天共有 =264种安排方式。
答案：264。
【方法技巧】解决排列组合问题时，常用的技巧：（1）特殊位置优先安排；（2）合理分类与准确分步。
6．（2010?广东高考理科?Ｔ8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是
A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
【命题立意】本题考察排列的综合问题。
【思路点拨】先用排列算出闪烁个数 ，还要考虑每个闪烁间的时间。
【规范解答】选 每次闪烁时间为 秒，共 ，每两次闪烁之间的间隔为 ，共 ，总共就有
【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.某班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案的种数为( )
(A)35(B)70(C)210(D)105
2.从6人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项,其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案种数共有( )
(A)96种 (B)180种 (C)240种 (D)288种
3.在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中若2a2+an-5=0,则自然数n的值是( )
(A)7(B)8(C)9(D)10
4．在 的展开式中， 的幂的指数是正整数的项共有（ ）
(A) 3项(B)4项(C)5项(D)2项
5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为( )
(A)1或3 (B)-3 (C)1 (D)1或-3
6. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
（A）360 （B）288 （C）216 （D）96
二、填空题（每小题6分，共18分）
7．若函数 ，则
8.二项式(2+x)n的展开式中,前三项的系数依次为等差数列,则展开式的第8项的系数为______.(用数字表示)
9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数字作答）.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.有同样大小的9个白球和6个红球.
(1)从中取出5个球,使得红球比白球多的取法有多少种?
(2)若规定取到一个红球记1分,取到一个白球记2分,则从中取出5个球,使得总分不小于8分的取法有多少种?
11．对于二项式 , 求：
（1）展开式的中间项是第几项？写出这一项；
（2）求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；
（3）写出展开式中系数最大的项
12．甲，乙，丙…等六人，身高各不相同，将他们排成二行三列，求下列条件的排法种数．
(I)甲、乙不在同一行；
(Ⅱ)甲不在第一列且乙不在第一行；
(Ⅲ)每列中第一行的人比第二行的人高且每行中的三人中间高两边矮．
参考答案
1．【解析】选B.从7人中选出3人,有 种方法,3人相互调整座位,共有2种调整方案,故总的调整方案种数为 ×2=70(种).
2．【解析】选C。分三类：①甲、乙均不参赛，有 种；
②甲、乙只一人参赛，有
③甲、乙均参赛，有
故不同的参赛方案种数共有 =240种。
3．
4．【解析】选A。 由题意 为正整数且 故 的幂的指数是正整数的项只有3项。
5．【解析】选D.当x=0时,得a0=1，当x=1时,得a0+a1+a2+…+a6=(1+m)6，∴a1+a2+…+a6=(1+m)6-1=63，
即(1+m)6=64=26，∴1+m=±2，∴m=1或m=-3.
6．【解析】选B。先保证3位女生中有且只有两位女生相邻有 种排法，在这些排法中甲站两端的排法有 ，故所求的不同的排法种数有 种。
7．【解析】f(x)=(1+x)8，∴f(3)=(1+3)8=48=216，∴log2f(3)=log2216=16.答案:16
8．【解析】前3项的系数分别为
由题意知：
即
∴n=8，∴展开式中 ∴第8项的系数为16。
答案:16
9．【解析】分两大类：（1）四位数的4个数字如果有0，则0一定排在个、十、百位的任一位上。个、十、百位剩余的2个位置，一定是偶数或一定是奇数，故共有
（2）四位数的4个数字如果没有0，则个、十、百位应全是偶数，或两奇一偶，此时共有 180种，故符合题意的四位数共有144+180=324（个）。
答案:324
10．【解析】（1）5个全是红球有 种取法，4个红球、1个白球有 种取法，3个红球、2个白球有 种取法，所以取出的红球比白球多取法共有 + + =861（种）。
（2）要使总分不小于8分，至少需取3个白球2个红球，3白2红有 种取法，4白1红有 种取法，5个全是白球有 种取法，所以总分不小于8分的取法共有 + + =2142（种）。
11．【解析】（1）展开式共11项，中间项为第6项， ……4分
12．【解析】（Ⅰ）第一步：确定甲，乙所在行有（2种）；
第二步：确定甲位置（3种）；
第三步：确定乙位置（3种）；
第四步：将其它人排好（ 种）；
∴有 （种）……2分
（Ⅱ）分两类：
第一类： 甲在二、三列且甲在第一行.
第一步：先排甲乙（2种）；第二步：再排乙（3种）；第三步：再排其它（ 种）；
所以有 （种）.
第二类：甲在二、三列且甲在第二行.
第一步：先排甲（2种）；第二步：再排乙（2种）；第三步：再排其它（ 种）；
所以有 （种）
∴共有 （种）
（Ⅲ）由已知第一行中间人一定是最高的，第二行两侧的某人一定是最矮的.
∴第一步：排最高的人（1种）；
第二步：确定最矮人的位置（2种）；
第三步：在剩下的四人中选取一人到最高最矮人的角落（ 种）；
第四步：在剩下的三人中有 种排法：（∵剩下三个位子的角落必排剩下三人中最矮的）
∴有 种方法选手
【备课资源】
1.有两排座位,前排4个座位,后排5个座位,现安排2人就坐,并且这2人不相邻(一前一后也视为不相邻),那么不同坐法的种数是( )
(A)18(B)26(C)29(D)58
【解析】选D.2个人从9个座位中选2个座位坐好,共有 种坐法,其中两人相邻的坐法有7 .故两人不相邻的坐法有 -7 =58（种）
2．下面是高考第一批录取的一份志愿表。现有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没胡重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有几种不同的填写方法（ ）
【解析】选D。分4步完成，第1步，选择学校有 种选择方法。第2步，选择第一志愿的专业，有 种选择方法。第3步，选择第二志愿的专业，有 种选择方法。第4步，选择第三志愿的专业，有 种选择方法。
故填写志愿共有 种填写方法。
4. (1+x)7的展开式中x2项的系数是______.
【解析】∵T3= x2=21x2，
∴x2的系数为21.
答案:21
6.已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若5a1+2a2=0,则a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=_______.
【解析】
∵5a1+2a2=0，
即n2-6n=0，
解得n=6或n=0(舍)，
令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+(-1)6a6
=(1+1)6=64.
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