高考综合演练2
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若集合 则 =（ ）
A． B． C．[—1，0]D．
2．已知b是实数，i是虚数单位，若复数 对应的点在实轴上，则b=（ ）
A． B． C．-2D．2
3．命题“ x>0，x2+x>0"的否定是（ ）
A． ，使得 B． ， ≤0
C． ，都有 ≤0D． ，都有
4．设函数 若 ，则 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6．已知向量 均为单位向量，若它们的夹角是60°，
则 等于 （ ）
A． B． C． D．4
7．数列{an}中，对于所有的正整数n都有 ，
则 等于 ( )
A. B. C. D.
8．给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行；
②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面.
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知 ， ， 分别为圆锥曲线 和 的离心率，则 的值 ( )
A. 大于0且小于1 B. 大于1 C. 小于0 D. 等于0
10．若 ，则下列结论中不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为( )
A． B.
C. D.
12．已知椭圆 的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得 的M点的概率（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．若 （ ， 是虚数单位），则 ．
14．若函数 在 处取极值，则
15．求定积分的值： = ；
16．已知 是双曲线 的右支上一点， 、 分别为双曲线的左、右顶点， ， 分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为 ，有下列命题：①若 ，则 的最大值为 ；② 的内切圆的圆心横坐标为 ；③若直线 的斜率为 ，则 ．其中正确命题的序号是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，总分74分）
17．已知函数 ，其中 为常数， ，且 是方程 的解。
（I）求函数 的最小正周期；
（II）当 时，求函数 值域.
18．(12分)把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n． (1)求m与n的和为5的概率；
(2)求两直线mx+ny-1=O与2x+y-2=O相交的概率。
19．如图, 四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形, PA⊥底面ABCD, E, F分别是
AC, PB的中点.
(Ⅰ) 证明: EF∥平面PCD；
(Ⅱ) 若PA＝AB, 求EF与平面PAC 所成角的大小.
20．已知函数 ， 其中m∈R且m≠o．
（1）判断函数f1（x）的单调性；
（2）若m<一2，求函数 （ ）的最值；
21．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试. 假设某学生每次通过测试的概率都是1／3 ，每次测试通过与否互相独立. 规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试.
(Ⅰ) 求该学生考上大学的概率。
(Ⅱ) 如果考上大学或参加完5次测 试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分 布列及ξ的数学期望.
22．如图，已知椭圆 的上顶点为 ,右焦点为 ,直线 与圆 相切.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若不过点 的动直线 与椭圆 相交于 、 两点，且 求证：直线 过定点，并求出该定点 的坐标.
参考答案
一、选择题
1．【解析】选A
2．【解析】选A. 由题意知
3．答案：B
4．【解析】选B
5．【解析】选D.
6．【解析】选A
7．【解析】选A 方法1： 令n=1得 ，再令n=2、3、4、5，分别求出a3= ，a5= ，
∴a3+a5= .
方法2：∵ ，∴ （n≥2）
两式相除
∴a3= ，a5= .∴a3+a5= .
8．【解析】选B.命题①，④为真， 命题②，③为假，故选B.
9．【解析】选C
10．【解析】选D；当 ， ，所以 不恒成立。
11．【解析】选A. .
12．【解析】选C
二、填空题
13．【解析】
答案：
14．【解析】 ＝ ， ＝ ＝0 Þ 3
答案：3
15．【解析】
答案： ．
16．【解析】①错， 且 ，若设 ，则 ，此时 ，比 大，②正确，设内切圆G与 三边切于 ， ， ， 在 上，由切线长定理及双曲线定义可得 ， ， ，又 ，故 ．③正确， ，平方即得 ．
答案：②③
三、解答题
17．【解析】（I） ，
则 ，解得 -----------------------3分
所以 ，
则 --------------------------------5分
所以函数 的最小正周期为 .…………………………6分
（II）由 ，得 ，
则 ， -------------------------------10分
则 ，
所以 值域为 …… ………………………………12分
18．【解析】设所求（1），（2）分别为事件A,B:
P(A)=
（2）由两条直线相交得： ,
由于只有(2,1), (4,2), (6,3), 三对有序数对(m,n),使
∴P(B)=
19．【解析】(Ⅰ) 证明: 如图, 连结BD, 则E是BD的中点.
又F是PB的中点,，所以EF∥PD.
因为EF不在平面PCD内, 所以EF∥平 面PCD.
(Ⅱ) 连结PE.
因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC.
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD.
因此BD⊥平面PAC.故∠EPD是PD与平面PAC所成的角.
因为EF∥PD,
所以EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD.
因为PA＝AB＝AD, ∠PAD＝∠BAD＝ ,
所以Rt△PAD ≌ Rt△BAD.
因此PD＝BD.
在Rt△PED中,sin∠EPD＝ ,得∠EPD= .
所以EF与平面PAC所成角的大小是 .
20．【解析】（1）∵
则当 时，在（-2，2）上函数 单调递增；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递减。
当 时，在（-2，2）上函数 单调递减；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上单调递增。
（2）由 ，，-2≤x≤2，可得 ，
∴
由（1）知，当 ，-2≤x≤2时， 在 上是减函数，
而 在 上也是减函数10分
∴当 时，
取最大值4? ，
当 时， 取最小值 12分
21．【解析】（Ⅰ）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为 ，则
∴
（Ⅱ）该生参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5.
，
，
，
故ξ的分布列为：
2345
P
22．【解析】（Ⅰ）将圆 的一般方程 化为标准方程
，圆 的圆心为 ,半径 .
由 , 得直线 ,
即 ,
由直线 与圆 相切,得 ,
或 (舍去).
当 时, ,
故椭圆 的方程为
（Ⅱ）(方法一)由 知 ,从而直线 与坐标轴不垂直,
由 可设直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
将 代入椭圆 的方程 并整理得: ,
解得 或 ,因此 的坐标为 ,
即
将上式中的 换成 ,得 .
直线 的方程为
化简得直线 的方程为 ，
因此直线 过定点 .
(方法二)由题直线 的斜率存在，则可设直线 的方程为：
，
代入椭圆 的方程 并整理得:
,
设直线 与椭圆 相交于 、 两点，则 是上述关于 的方程两个 不相等的实数解，从而
由 得
，
整理得： 由 知 .
此时 , 因此直线 过定点 .
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