惠州市201-2014学年第学期期末考试高数学说明：1、全卷满分150分，时间120分钟2、答卷前，考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号，填写在答题卷上、考试结束后，考生将答题卷交回。一、选择题（本大题共小题，每小题5分，共4分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．的焦距等于（ ） A． B． C． D．．．同向共线的单位向量为（ ）A． B． 或 C． D．或4.已知点抛物线，点上，点的坐标是，=（ ）．.已知事件与事件发生的概率分别为、，有下列命题：①若为必然事件，则．与互斥，则．与互斥，则． ．”是“方程表示的曲线为抛物线”的（ ）条件。A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要7．执行程序框图，如果输入，那么输出．已知椭圆，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为8，则的值是（） B． C． D．二、填空题：(本大题共题，每小题5分，共分．请将答案填写在上．)的渐近线方程为 ．.样本，，，，的方差为 ．11.已知，，若，则的值为 ．1.命题“”的否定是 ．.某城市近10年居民的年收入与支出之间的关系大致符合（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元．14.如图，在棱长为2的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率 ．三、解答题：(本大题共题，满分0．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)1．（本小题满分12分）某社团组织名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动志愿者20至40岁大于40岁．在志愿者中分层抽样方法随机抽取名年龄大于40岁的应该抽取几名?上述抽取的名志愿者中任取2名求年龄大于40岁的．16．（本小题满分1分），，点的坐标为．（1）求当时，点满足的概率；（2）求当时，点满足的概率．17．（本小题满分14分）设命题：实数满足，其中命题：实数满足（1）若，且为真，求实数的取值范围；（）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．18．（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设直线椭圆为求．19．（本小题满分14分）已知正方体，、、分别是、和的中点．（1）证明：面；的余弦值．．（本小题满分14分）已知动直线与椭圆交于两不同点，且△的面积=其中为坐标原点．（）证明和均为定值（）设线段的中点为，求的最大值；（）椭圆上是否存在点，使得若存在，判断△的形状；若不存在，请说明理由．惠州市201-2014学年第学期期末考试高数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BCCBCABD1．【解析】由，所以焦距为16.∴选B．．【解析】因为间隔相同，所以是系统抽样法，∴选C．3．【解析】，∴，∴选C．4．【解析】抛物线知，，∴选B．．【解析】由概率的性质知①③为真命题，∴选C．6．【解析】当且仅当时，方程表示的曲线为抛物线，∴选A．7．【解析】，进入循环后各参数对应值变化如下表：1520结束52523∴选B．8．∵AF1+AF2=6，BF1+BF2=6，∴△AF2B的周长为AB+AF2+BF2=12；若AB最小时，BF2+AF2的最大，又当AB⊥x轴时，AB最小，此时AB=，故．∴选D．二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．)9. 10.2 11.6 12. 13.18.2 14. 9．的渐近线方程为．．．．．．．．．．为原点为轴建立空间直角坐标系，则,设，则,则，从而．三、解答题：(本大题共题，满分0．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)1．（本小题满分12分）解(1)若在志愿者中随机抽取名则抽取比例为∴年龄大于40岁的应该抽取人. (2)上述抽取的名志愿者中20至40岁大于40岁任取2名，共10种，…8分其中恰有1人年龄大于40岁的，共6种，………………………………10分∴恰有1人年龄大于40岁的.…………………………………12分16．（本小题满分1分）解：的点的区域为以为圆心，2为半径的圆面（含边界）． ……………………（3分）所求的概率． …………………………（5分）（2）满足，且，的整点有25个 …………（8分）满足，且的整点有6个，……………（11分）所求的概率． ………………………………（12分）17．（本小题满分1分）解　(1)由得.又，所以，当时，，即为真命题时，实数的取值范围是由.所以为真时实数的取值范围是.若为真，则，所以实数的取值范围是．(2) 设，是的充分不必要条件，则所以所以实数a的取值范围是．18．（本小题满分1分）解：（1）又由直线与圆相切，由得，………………………………… 4分∴椭圆方程为…………………………………………………6分（2）…………8分，设交点坐标分别为………9分则…………………………………………………11分从而所以弦长…………………………………………………………14分19．（本小题满分1分）以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为，则D(0，，0)、(0，，)、(1，，0) 、(0，1，) 、 (2，0，) 、C(0，，)， (1)则，，………………………… 3分∵，∴ ………………………… 4分∵，∴ ………………………… 5分又，，……………… 6分∴面(2)由(1)知为面的法向量，………………………… 8分∵面，为面的法向量，……………… 9分设与夹角为，则……… 12分由图可知二面角的平面角为，∴二面角的余弦值为．．（本小题满分14分）的斜率不存在时，P，Q两点关于轴对称，所以因为在椭圆上，因此①又因为所以②由①、②得此时…………… 2分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知，将其代入，得，其中即…（*）又所以因为点O到直线的距离为所以又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。……………………… 5分 （2）解法一： （1）当直线的斜率不存在时，由（I）知因此……………………………………… 6分 （2）当直线的斜率存在时，由（I）知所以所以，当且仅当时，等号成立.综合（1）（2）得的最大值为………………………………… 9分解法二：因为所以即当且仅当时等号成立。因此的最大值为………………………………………………… 9分 （3）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得… 10分证明：假设存在，由（I）得 解得所以只能从中选取，只能从中选取，因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G. ………………… 14分惠州市201-2014学年第学期期末考试1 页 共 11 页开始是否输出结束输入广东省惠州市2013-2014学年高二第一学期期末考试数学（理）试题(有答案)
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