江苏省南通第一中学2012—2013学年度第一学期期中考试卷
高一数学
说明
1．本试卷满分160分，考试时间120分钟；
2．在答题纸的密封线内填写班级、姓名、考号，在右下角填上座位号，密封线内不要答题；
3．请将所有答案按照题号填写在答题纸相应的答题处，否则不得分．

一、题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题纸相应的位置上
1．若 ，则 ▲ ．
2．函数 的定义域是 ▲ ．
3．已知幂函数 的图象过点 ，则 ▲ ．
4．设函数 满足 ，则 的表达式是 ▲ ．
5．函数 的值域是 ▲ ．
6．若 , ,则用“＞”将 按从大到小可排列为 ▲ ．
7．已知函数 ，则 ▲ ．
8．若函数 在区间 上的最大值与最小值之和为 ，则a的值为 ▲ ．
9．给定函数：① ,② ,③ ,④ ，其中在区间 上是单调减函数的序号是 ▲ ．（填上所有你认为正确的结论的序号）
10．已知方程 的解所在区间为 ，则 = ▲ ．
11．已知函数 在区间 上是减函数，则 的取值范围是 ▲ ．
12．定义在实数集R上的奇函数 满足：① 在 内单调递增，② ，则不
等式 的解集为 ▲ ．
13．已知函数 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 ▲ ．
14．已知函数 ，现给出下列命题：
① 当其图象是一条连续不断的曲线时，则 = ；
② 当其图象是一条连续不断的曲线时,能找到一个非零实数 使 在 上是增函数；
③ 当 时，不等式 恒成立；
④ 函数 是偶函数．
其中正确命题的序号是 ▲ ．（填上所有你认为正确的命题的序号）

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸相应的位置上作答，解答时应写出字说明、证明或演算步骤
15．（本小题满分14分）
设全集 R，集合 ， ．
（1）求 ；
（2）若集合 ，满足 ，求实数 的取值范围

16．（本小题满分14分）
（1）计算 的值；
（2）已知 ，求 和 的值．

17．（本小题满分15分）
已知 为定义在R上的奇函数，当 时， 为二次函数，且满足 ， 在 上的两个零点为 和 ．
（1）求函数 在R上的解析式；
（2）作出 的图象，并根据图象讨论关于 的方程 根的个数．
18．（本小题满分15分）
已知函数 ，其中 ，记函数 的定义域为D．
（1）求函数 的定义域D；
（2）若函数 的最小值为 ，求 的值；
（3）若对于D内的任意实数 ,不等式 ＜ 恒成立,求实数 的取值范围．

19．（本小题满分16分）
已知函数 （ R）．
（1）试判断 的单调性，并证明你的结论；
（2）若 为定义域上的奇函数，
① 求函数 的值域；
② 求满足 的 的取值范围．

20．（本小题满分16分）
若函数 满足下列条件：在定义域内存在 使得 成立，则称函数 具有性质 ；反之，若 不存在，则称函数 不具有性质 ．
（1）证明：函数 具有性质 ，并求出对应的 的值；
（2） 已知函数 具有性质 ，求 的取值范围；
（3）试探究形如：① ,② ,③ ,④
,⑤ 的函数，指出哪些函数一定具有性质 ?并说明理由．

江苏省南通第一中学2012—2013学年度第一学期期中考试
高一数学参考答案
一、题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题纸相应的位置上.
1． 2．
3．9 4． （或写成 ）
5． 6．c＞a＞b
7．4 8．
9．②④ 10．4
11．a≤ 12．
13． 14．①③
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸相应的位置上作答，解答时应写出字说明、证明或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
解：（1）∵
∴ ……………………………………4分
∴ ……………………………………7分
（2）由 得 ……………………………………9分

根据数轴可得 ， ……………………………………12分
从而 ……………………………………14分

16．（本小题满分14分）
解：（1）原式
…………………………………4分
…………………………………7分
（2） …………………………………10分
∵
∴由 得 …………………………………14分
（注：不指出 得 扣1分；直接得 扣2分）

17．（本小题满分15分）
解：（1）由题意，当 时，设 ，
，∴ ，∴ ……………………………2分
（注：设 一样给分）
当 时， ，∵ 为 上的奇函数，∴ ，
∴
即 时， ……………………………5分
当 时，由 得： ……………………………6分
所以 ． ……………………………7分

（2）作出 的图象（如图所示）
…………………10分
（注： 的点或两空心点不标注扣1分，
不要重复扣分）

由 得： ，在图中作 ，
根据交点讨论方程的根：
当 或 时，方程有 个根； ………………………………………11分
当 或 时，方程有 个根； ………………………………………12分
当 或 时，方程有 个根； ………………………………………13分
当 或 时，方程有 个根； ………………………………………14分
当 时，方程有 个根． ………………………………………15分

18．（本小题满分15分）
解：（1）要使函数有意义：则有 ，解得
∴ 函数的定义域D为 ………………………………………2分
（2）

， ，即 ， …………5分
由 ，得 ， ． ……………………………7分
（注： 不化简为 扣1分）
（3）由题知－x2+2x－2+2＜1在x∈ 上恒成立，
－2x+2－2+1＞0在x∈ 上恒成立， ……………………………8分
令g(x)=x2－2x+2－2+1，x∈ ，
配方得g(x)=(x－)2－2+1，其对称轴为x=，
①当≤－3时， g(x)在 为增函数，∴g(－3)= (－3－)2－2+1= 2+4 +10≥0，
而2+4 +10≥0对任意实数恒成立，∴≤－3． ………………………10分
②当－3＜＜1时，函数g(x)在（－3,－1）为减函数，在（－1, 1）为增函数，
∴g()=－2+1＞0，解得＜ ∴－3＜＜ …………………12分
③当≥1时，函数g(x)在 为减函数，∴g(1)= (1－)2－2+1= 2－4 +2≥0，
解得≥ 或≤ ， ∴－3＜＜ …………………14分
综上可得，实数的取值范围是 (－∞， )∪[ ，+∞) …………………15分

19．（本小题满分16分）
解：（1）函数 为定义域(－∞，+∞)，且 ，
任取 (－∞，+∞)，且
则 ………………3分
∵ 在 上单调递增，且
∴ ， ， ， ，∴ ，
即 ，∴ 在(－∞，+∞)上的单调增函数． …………………5分
（2）∵ 是定义域上的奇函数，∴ ，
即 对任意实数 恒成立，
化简得 ，∴ ，即 ， ………………8分
（注：直接由 得 而不检验扣2分）
①由 得 ，∵ ，∴ ， ……………10分
∴ ，∴
故函数 的值域为 ． ………………………………………………12分
②由 得 ，
且 在(－∞，+∞)上单调递增，∴ ， …………………………14分
解得 ，
故 的取值范围为 ． ……………………………………………………16分

20．（本小题满分16分）
解：（1）证明： 代入 ，
得： ，即 ， ……………………………………2分
解得 ，∴函数 具有性质 ． …………………………………3分
（2） 的定义域为R，且可得 ，]∵ 具有性质 ，
∴存在 ，使得 ,代入得 ，
化为 ，
整理得: 有实根， ……………………………5分
①若 ,得 ，满足题意； ……………………………………………6分
②若 ,则要使 有实根，只需满足 ，
即 ，解得 ，∴ ，
综合①②,可得 ………………………………………8分
（3）解法一：函数 恒具有性质 ，即关于 的方程 （*）恒有解. ………………………………………9分
　　　 ①若 ，则方程（*）可化为
　　　 整理， 得 ，当 时，关于 的方程（*）无解，
∴ 不恒具备性质 ； ………………………………………10分
②若 ，则方程（*）可化为 ，解得 ，
∴函数 一定具备性质 ； …………………12分
③若 ，则方程（*）可化为 无解，
∴ 不具备性质 ； ……………………………………………13分
④若 ，则方程（*）可化为 ，化简得 ，
当 时，方程（*）无解，
∴ 不恒具备性质 ； …………………………14分
⑤若 ，则方程（*）可化为 ，化简得 ，
显然方程无解，
∴ 不 具备性质 ； …………………………15分
综上所述，只有函数 一定具备性质 ． …………16分
（注：第（3）问直接得 一定具备性质 而不说明理由
只给1分）

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