§1.1.2 集合间的基本关系

学习目标
1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2. 理解子集、真子集的概念；
3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4. 了解空集的含义.

学习过程
一、课前准备
（预习教材P6~ P7，找出疑惑之处）
复习1：集合的表示方法有 、 、
. 请用适当的方法表示下列集合.
（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.

复习2：用适当的符号填空.
（1） 0 N； Q； -1.5 R.
（2）设集合 ， ，则1 A；b B； A.

思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？



二、新课导学
※ 学习探究
探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
与 ；
与 ；
与 .

新知：子集、相等、真子集、空集的概念.
① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset），记作： ，读作：A包含于（is contained in）B，或B包含(contains)A.
当集合A不包含于集合B时，记作 .
② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为：
.

③ 集合相等：若 ，则 中的元素是一样的，因此 .

④ 真子集：若集合 ，存在元素 ，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）.

⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作： . 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.


试试：用适当的符号填空.
（1） ， ；
（2） ， R；
（3）N ，Q N；
（4） .




反思：思考下列问题.
（1）符号“ ”与“ ”有什么区别？试举例说明.

（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.

（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？
① 若 ；
② 若 .

※ 典型例题
例1 写出集合 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.

变式：写出集合 的所有真子集组成的集合.


例2 判断下列集合间的关系：
（1） 与 ；

（2）设集合A={0,1}，集合 ，则A与B的关系如何？

变式：若集合 ， ，且满足 ，求实数 的取值范围.
※ 动手试试
练1. 已知集合 ，B＝{1,2}， ，用适当符号填空：
A B，A C，{2} C，2 C.

练2. 已知集合 ， ，且满足 ，则实数 的取值范围为 .

三、总结提升
※ 学习小结
1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.
2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.

※ 知识拓展
如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有 个，真子集有 个.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列结论正确的是（ ）.
A. A B.
C. D.
2. 设 ，且 ，则实数a的取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
3. 若 ，则（ ）.
A. B.
C. D.
4. 满足 的集合A有 个.
5. 设集合 ， ，则它们之间的关系是 ，并用Venn图表示.

课后作业
1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？

试用Venn图表示这三个集合的关系.

2. 已知 ， 且 ，求实数p、q所满足的条件.


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