映射函数定义域值域

编辑: 逍遥路 关键词: 高一 来源: 高中学习网
一种特殊的对应:映射

(1) (2) (3) (4)
1.对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有一个(或几个)元素与此相对应。

2.对应的形式:一对多(如①)、多对一(如③)、一对一(如②、④)

3.映射的概念(定义):强调:两个“一”即“任一”、“唯一”。

4.注意映射是有方向性的。

5.符号:f : A B 集合A到集合B的映射。

6.讲解:象与原象定义。

再举例:1?A={1,2,3,4} B={3,4,5,6,7,8,9} 法则:乘2加1 是映射
2?A=N+ B={0,1} 法则:B中的元素x 除以2得的余数 是映射
3?A=Z B=N* 法则:求绝对值 不是映射(A中没有象)
4?A={0,1,2,4} B={0,1,4,9,64} 法则:f :a b=(a?1)2 是映射

一一映射

观察上面的例图(2) 得出两个特点:

1?对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象 (单射)

2?集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象 (满射)
即集合B中的每一个元素都有原象。



从映射的观点定义函数(近代定义):
1?函数实际上就是集合A到集合B的一个映射 f:A B 这里 A, B 非空。
2?A:定义域,原象的集合
B:值域,象的集合(C)其中C ? B
f:对应法则 x?A y?B
3?函数符号:y=f(x) —— y 是 x 的函数,简记 f(x)

函数的三要素: 对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。

例:判断下列各组中的两个函数是否是同一函数?为什么?
1. 解:不是同一函数,定义域不同
2。 解:不是同一函数,定义域不同
3。 解:不是同一函数,值域不同
4. 解:是同一函数
5. 解:不是同一函数,定义域、值域都不同


关于复合函数
  设 f(x)=2x?3 g(x)=x2+2 则称 f[g(x)](或g[f(x)])为复合函数。
f[g(x)]=2(x2+2)?3=2x2+1
g[f(x)]=(2x?3)2+2=4x2?12x+11
例:已知:f(x)=x2?x+3 求:f( ) f(x+1)
解:f( )=( )2? +3 f(x+1)=(x+1)2?(x+1)+3=x2+x+3


1. 函数定义域的求法

??分式中的分母不为零;

??偶次方根下的数(或式)大于或等于零;

??指数式的底数大于零且不等于一;

??对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。

??正切函数

??余切函数

??反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)

函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 ,

函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,

函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是 ,

函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .

注意,

1.复合函数的定义域。
如:已知函数 的定义域为(1,3),则函数 的定义域。

2.函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,
则函数 的定义域为 ,解不等式,最后结果才是


3.这里最容易犯错的地方在这里:
已知函数 的定义域为(1,3),求函数 的定义域;或者说,已知函数 的定义域为(3,4),
则函数 的定义域为______?

2. 函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.

(1)、直接观察法
对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
例 求函数 的值域

(2)、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数 的值域。

(3)、根判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
如:


4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数 值域。
,分母不等于0,即

5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数 , , 的值域。

10.倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例 求函数 的值域


多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,
首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,
一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。


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