教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。
教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布 图形问题 代数表达式（不等式组） 参数取值范围。
教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。
一、问题的提出
若方程 的两根均为正数，求实数的取值范围.
变式1：两根一正一负时情况怎样？
变式2：两实根均大于5时情况又怎样？
问题：能否从二次 函数图形角度去观察理解？若能试比较两种方法的优劣.
方程 的实根，如若从二次函数图形 角度去观察理解，其实质就是对应的二次函数 的抛物线与 轴交点的横坐标.
一元二次方程实根分布，实质上就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较.
二、一元二次方程实根分布
仿上完成下表
一元二次方程 实根分布图解
根的分部
图
象
等价的代数不等式
三、练习
1.为何实数时，方程 的两根都在-1与1之间.
2、若方程 的两根中，一根小于0，另一根大于2，求a的取值范围.
四、小结
基本类型与相应方法：
设 ，则方程 的实根分布的基本类型及相应方法如下表：
1．两实根都小于
2．两实根都大于
3．两实根都在 内
4．两实根都在 外
5．两根中有且只有一根在
内
五作业：
1．关于 的一元二次方程 的一根大于1，另一根小于1.则 的值是 （ ）
（A） 或 （B） （C） （D）
2．方程 为常数）有两实根 ，且 ， ，那么 的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） 或 （D）无解
3．设 是整数，且方程 的两根都大于 而小于 ，则 .
4.若关于 的方程 的所有根都是比1小的正实数，则实数 的取值 范围是 ＝
5. 方程 的一根不大于－1，另一根不小于1.试求：
（1）参数 的取值范围；（2）方程两根的平方和的最大值和最小值.
第二课时 一元二次方程实数根分布的应用
一复习
：
根的分部
图
象
等价的代数不等式
二、例子
例1 已知实数 、 、 满足 ，求 的取值范围.
解 由已知得 且
.
所以 是一元二次方程 的两根. 由 问题可转化为方程 的二根都大于 .令 ，有
即 ，
求得 ，因此 .
例2已知点 、 .若抛物线 与线段 (不包括端点 及 )有两个不同的交点，则 的取值范围是 . (1997年上海市高中数学竞赛)
解： 显然直线 的方程为 即 ，代入抛物线方程并整理得 .
设 ，问题转化函数 的图象和 轴在0到4之间有两个不同的交点，即方程 在 上有两个不相等的实根. 所以
解得 的取值范围是 .
例3关于 的实系数二次方程 的两个实数根为 ，证明：①如果 ，那么 且 ；②如果 且 ，那么 .(1993年全国高考题)
证明 ①设 ，由已知，函数 的图象与 轴在 到2之间有两个不同的交点. 所以
由(3)、(4)得 ，所以 .
由(2)，得 ，结合(1)得 ，所以 . 将(3)+(4)得 ，因此 ，即 .
②由于 且 ，可得 ，所以 ， . 即函数 的图象的对称轴 位于两条直线 ， 之间.
因为 ，
.
所以 . 因此函数 的图象与 轴的交点位于-2和2之间，即 .
作业
1．已知抛物线 为实数. 为何值时， 抛物线与 轴的两个交点都位于点 的右侧？
2．已知 都是正整数，且抛物线 与 轴有两个不同的交点A、B. 若A、B到原点的距离都小于1，求 的最小值.
第三课时 应用提高
例1若方程 在 上有实根，求实数 的取值范围.
解法一：方程 在 上有实根，即方程 在 上有实根，设 ，则根据函数 的图象与 轴的交点的横坐标等价于方程 的根.
（1）两个实根都在 上，如图：
可得 ，解得 ；
（2）只有一个实根在 上，如图：
可得 ，解得
，综合（1）与（2）可得
实数 的 取值范围为
解法二： 方程 在 上有实根，即存在 ，使得等式 成立，要求 的取值范围，也即要求函数 的值域.
设 ，则 ，
可得 .
解法三：令 则 ，则方程 在 上有实根，等价于方程组 在 上有实数解，也即等价于抛物线 与直线 在 上有公共点，如图所示
直观可得： .
解法四：根据解法三的转化思想，也可将原方
程 化成 ，然后令
，从而将原问题等价转化为
抛物线 与直线 在 上有公共
点时，“数形结合法”下去求参数 的取值范围.
根据图形直观可得：当直线 过点 ，
截距 最大；当直线 与抛物线 相切时，截距 最小.
且 .故参数的取值范围为 .
2已知实数 、 、 满 足 ，其中 为正数.对于 .
(1)若 ，求证： ；
(2) 若 ，证明方程 在 内有实根.
证明 (1)由 ，求得 ，所以
又由 ，因此 ，故 .
(2)要证明方程 在 内有实根，只须证明
或
但两者都不易证明. 由 ，结合第(1)题 ，对 进行讨论：
当 时，有 . 只要证明 和 中有一个大于零即可.
若 ，则 成立，问题得证；
若 ，由 求得 ，所以
.
由 ，知 ，命题得证.
故 当 时，方程 在 内有实根.
同理可证，当 时，方程 在 内也有
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