一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）

1．正方体ABCD―A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是                                                                                  （    ）

       A．三角形             B．四边形             C．五边形             D．六边形

2．正方体ABCD―A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正四面体的全面积为，

则正方体的棱长为（   ）

     A．                  B．2                       C．4                       D．

3．表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

 A．               B．     C．            D．

4．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是，则这个棱柱的侧面对角

线E1D与BC1所成的角是（   ）

     A．90?                  B．60?                   C．45?                 D．30?

5．设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为

（A）         （B）         （C）         （D）

6．设四个点P、A、B、C在同一球面上，且PA、PB、PC两两垂直，PA＝3，PB＝4，PC＝5，

那么这个球的表面积是（   ）

     A．           B．            C．25                 D．50

7．已知△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120?，平面ABC外一点P满足PA＝PB＝PC＝2，

则三棱锥P－ABC的体积是（   ）

     A．                  B．                  C．                  D．

8．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于

       （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

9已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A．             B．         C．             D．

9.C

10．已知球O的表面积为4，A、B、C三点都在球面上，且每两点的球面距离均为，则从球中切截出的四面体OABC的体积是（   ）

       A．                B．                  C．                    D．

11．棱长为a的正方体ABCD―A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C的距离是（   ）

       A．             B．               C．               D．

12．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有

（A）18对               （B）24对                       （C）30对               （D）36对

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，PA＝AB＝2，则三棱锥B－PCD的体积为          。

14． 已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.（i）当满足条件           时，有；（ii）当满足条件           时，有.（填所选条件的序号）

15．一个正方体的全面积为，它的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为          。

16如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是         .

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17．如图，在正三棱柱ABC―A1B1C1中，AB＝AA1，D是CC1的中点，F是A1B的中点，

⑴求证：DF∥平面ABC；

⑵求证：AF⊥BD。

               

18．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。

（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；

（II）设求二面角的大小

19.在直三棱柱中，，．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）若直线与平面所成角为，求三棱锥的体积．

20．如图，已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，

⑴求证：A1C⊥平面BDE；

⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。

21．如图，三棱柱ABC―A1B1C1的各棱长均为2，侧棱B1B与底面ABC成60?的角，

且侧面ABB1A1⊥底面ABC，

⑴求证：AB⊥CB1；⑵求三棱锥B1－ABC的体积；

⑶求二面角C－AB1－B的大小。

22．.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.

(Ⅰ)求二面角B―AD―F的大小；

(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.

参考答案

一、选择题

DAABC    DDDCA    BD

二、填空题

       13．                    14．③⑤  ②⑤                                 15．    16．2/3

三、解答题

17．⑴取AB中点E，则显然有FD∥ECDF∥平面ABC

⑵

18．解法一：（Ⅰ）设O为AC中点，连结EO，BO，则EO 又CC1 B1B，

所以EODB ，则EOBD为平行四边形， ED∥OB         

∵ AB = BC，∴ BO⊥AC ，又面ABC⊥面ACC1A1，BO面ABC ，故BO⊥面ACC1A1

∴ ED⊥面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1    ∴ ED⊥BB1

ED为异面直线AC1与BB1的公垂线     

（Ⅱ）联结A1E，由AA1 = AC = AB可知，A1ACC1为正方形，

∴ A1E ⊥AC1   由ED⊥面A1ACC1和ED面ADC1知面ADC1⊥面A1ACC1ED⊥A1E

则A1E⊥面ADE。  过E向AD作垂线，垂足为F，连结A1F，

由三垂线定理知∠A1FE为二面角A1―AD―C1的平面角。

不妨设AA1 = 2 ，则AC = 2 ，AB = ， ED = OB = 1 ，

EF =

所以二面角A1―AD―C1为60°

19．.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)

     ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,    ∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.

     (2) ∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,∴AA1=.

 

20．⑴由三垂线定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE

⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，

，∴，

∴

设A1C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，

∴

21．⑴在平面ABB1A1中，作B1D⊥AB，则B1D⊥平面ABC

∴∠B1BD为B1B与平面ABC所成角，∴∠B1BD＝60?

又∵△ABB1和△ABC均为正三角形，∴D为AB中点，∴CD⊥AB，∴CB1⊥AB

⑵易得

⑶过D作DE⊥AB1，连CE，易证：CD⊥平面ABB1A1

由三垂线定理知：CE⊥AB1，∴∠CED为二面角C－AB1－B的平面角。

在Rt△CDE中，tan∠CED＝2，∴二面角C－AB1－B的大小为arctan2

22．解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,

∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B―AD―F的平面角，

依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.

即二面角B―AD―F的大小为450；

 

(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）

所以，

设异面直线BD与EF所成角为，则

直线BD与EF所成的角为

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