三、解答题

12.某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元).

⑴分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；

⑵该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)？

考查目的：考查函数建模能力、待定系数法求函数解析式、换元法求二次函数最值，以及转化化归思想和数形结合思想等.

答案：⑴，；⑵当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约4万元.

解析：⑴设A产品投资万元时，利润为万元； B产品投资万元时，利润为万元，由题意设().由图象可知，∴.又∵，∴，∴，.

⑵设投入A产品万元，则投入B产品为万元，这时企业获得的利润为万元，依题意得

.

令，∴，

∴当时，，此时.

答：当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约4万元.

 

 

13.(2011湖北理)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.

⑴当时，求函数的表达式；

⑵当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)

可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)

考查目的：考查分段函数、待定系数法和函数最值的求法等基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.

答案：⑴⑵当时，在区间[0，200]上取得最大值.

解析：⑴由题意得，当时，；当时，设().由已知条件得解得∴函数的表达式为⑵由⑴得

当时，为增函数，∴当时，其最大值为60×20=1200；

当时，，

当且仅当时，在区间[20，200]上取得最大值.

综合以上得，当时，在区间[0，200]上取得最大值.

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

 

 

14.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减.

⑴下列几个模拟函数中的哪一个模拟函数(表示人均GDP，单位：千美元，表示年人均A饮料的销量，单位：升)来描述人均A饮料销量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由.

①，②，③，④；

⑵若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把⑴中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销量最多是多少？

考查目的：考查几类增长率函数模型与实际问题的拟合，数学建模能力，综合所学知识解决实际问题的能力.

答案：⑴；⑵年人均A饮料销量最多是升.

解析：⑴用函数①来描述人均A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适.因为函数，，在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征.

⑵∵函数图象经过点(1，2)和(4，5)，∴，解得，∴，.

∵，∴在各地区中，当时，年人均A饮料销量最多是升.

 

 

15.(2007广东)已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求实数的取值范围.

考查目的：考查函数零点的定义、二次函数与二次方程之间的相互转化和数形结合思想.

答案：或.

解析：函数在区间上有零点，即方程在上有解.若时，则，不符合题意，∴，∴方程在上有解等价于

①或②.解①得.解②得或.

综合①②得或，即实数的取值范围是或.

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