三、解答题

12.某商场计划出售两种商品，商场根据实际情况和市场需求，得到如下数据：(商品单位：件)

资金(百元)

商品

商品

日资金供应量

单位进价

30

20

3000

单位工资支出

5

10

1100

单位利润

6

8

 

问如何确定两种货物的月供应量，可以使得总利润达到最大？最大利润为多少？

考查目的：考查二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划问题等基础知识和方法，考查数形结合能力和应用数学知识解决实际问题的能力.

答案：40，90；960.

解析：设供应商品件，商品件，总利润为百元，则，根据题意得约束条件为，即.作出可行域如图所示.目标函数表示一组斜率为的平行直线，其在轴上的截距为.由图可知，当直线经过点(即直线与的交点)时直线在轴上的截距最大，此时.

 

 

13.(2007江西理)已知函数在区间内连续，且.

⑴求实数和的值；

⑵解不等式.

考查目的：考查分段函数、连续函数的概念等基础知识，考查不等式的解法以及综合运用知识解决问题的能力.

答案：⑴，；⑵.

解析：⑴∵，∴.由，即，得，∴. 又∵在处连续，∴，解得.

⑵由⑴得，. 由得，当时，解得；当时，解得，∴不等式的解集为.

 

 

14.(2011安徽理)⑴设，证明：；

⑵设，证明：.

考查目的：考查不等式的基本性质、对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查不等式证明的基本方法，以及代数式的恒等变形能力和推理论证能力.

解析：证明：⑴∵，∴要证原不等式成立，只需证明.由于

，而，∴，从而所要证明的不等式成立.

    ⑵设，，由对数换底公式得，，，，于是，所要证明的不等式即为.∵，∴，，∴由⑴可知所要证明的不等式成立.

 

 

15.(2009江苏)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.

现假设甲生产两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品的单价分别为元和元，甲买进与卖出的综合满意度为，乙卖出与买进的综合满意度为.

⑴求和关于的表达式；当时，求证：；

⑵设，当分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

⑶记⑵中最大的综合满意度为，试问能否适当选取的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.

考查目的：考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力、数学阅读理解能力以及运算求解能力.

答案：⑴，；⑵当，时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为；⑶不能.

解析：⑴根据题意，甲买进产品的满意度，甲卖出产品的满意度，∴甲买进与卖出的综合满意度为；同理，乙卖出与买进的综合满意度为.

当时，，

，∴.

⑵设，.由⑴知，当，即时， ，当且仅当时取等号，此时，∴当，时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为.

⑶由⑵知，，∵，∴当，时，有，因此不能取到的值，使得和同时成立，但等号不同时成立.

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