数学的三股推动力量――数学内部的矛盾

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


二、数学内部的矛盾

 

整个数学的发展史就是一部矛盾斗争的历史。数学内部的矛盾是推动数学长河滚滚向前的主要力量之一。

 

数学以现实世界的空间形式和数量关系作为自己研究的对家,为了在纯粹形态上研究这些形式和关系,就必须和现实世界的内容割裂开来。但是,离开内容的形式和关系是不存在的。因此,数学按它的本质企图实现这种割裂,是企图实现一种不可能的事情。这是在数学本质中的根本矛盾,它是认识的普遍矛盾在数学方面的特殊表现。在越来越接近现实的各个认识阶段上,不断解决和重复上述矛盾,数学就不断地前进、发展,由简单到复杂,由低级向高级。

 

人类最早认识的是自然数,引进零和负数就经过了斗争:要么引进这些数,要么大量的数的减法就行不通。同样,引进分数使乘法有了逆运算―除法,否则许多实际问题也不能解决。

 

但是接着又出现了这样的问题:是否所有的量都能够用有理数来表示?发现无理数并最终使得第一次数学危机的解决,促使了逻辑的发展和几何学的系统化。方程解的问题导致虚数的出现,虚数从一开始就被认为是“不实的”,可是这种不实的数却解决了实数所不能解决的问题,从而为自己争得了存在的权利。数学就是这样在矛盾斗争中发展的。几何学从欧几里得几何的一统天下发展到多种几何,也是如此。

 

在19世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题,如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、开方求出根来;古希腊几何三大问题不能通过圆规和直尺作图来解决等等。这些否定的结果表明了传统方法的局限性,也反映了人类认识的深入。

 

这些发现给有关学科带来了极大的冲击,几乎完全改变了它们的方向。例如,代数学从此以后向抽象代数的方面发展,而求解方程的根也变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中,这种情况也多次出现,尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性,都大大提高了人们的认识,也促进了数理逻辑的大发展。

 

由无穷小量的矛盾引起的第二次数学危机,反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。第三次数学危机涉及集合论和数理逻辑,但它一开始就牵涉到无穷集合,而现代数学脱离无穷集合就寸步难行。一种极端的观点是只考虑有限集合或至多是可数的集合,不过这样一来绝大部分数学将不复存在。

 

即使这些有限数学的内容也有许多要涉及无穷的方法,有很多的数学证明都要用有限的步骤解决涉及无穷的问题。借助于计算机完成的四色定理的证明,首先也要把无穷多种可能的地图归结成有限的情形。对于无穷,计算机也是无能为力的。可见数学永远回避不了有限与无穷这对矛盾,可以说它是数学矛盾的根源之一。

 

数学中也一直贯穿着应用上清楚与逻辑上严格的矛盾。在这方面,比较注意实用的数学家盲目应用,而比较注意严密的数学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致,矛盾才能解决。例如,算符演算及δ函数,开始是形式演算,任意应用,直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。微积分的应用与极限论的建立更是众所周知的。

 

    在数学史中,一直存在着经常起作用的两种重要趋势:一种是学科不断分化的趋势,另一种是学科不断综合的趋势。这两种矛盾的趋势的辨证运动,表现为一个否定之否定的过程。

自然界作为一个无限多样性的统一整体,通过感觉和知觉进入人类的意识。古时候,数学是在总体的数和形的关系上把握自然界的,算术、代数、几何没有彼此分开,任何一本数学名著都包括了这三方面的内容,并且把它们溶化在一起。因此,古代的数学本质上是一种感性直观的关于数和理的综合的科学。

 

从17世纪产生解析几何和微积分以后,学科分化的趋势一直居于主导地位。单一的未经分化的学科向许多专门分支学科发展,每一门学科所研究的又都是具体完整的数学中数与形的某一个方面。这种不断分化,到19世纪下半叶达到了相当精细的程度,代数、几何、分析等学科已经形成了各自不同的研究领域,特别是分析领域的发展更是蓬蓬勃勃。每个学科都可以互不联系地单独向前发展,各学科在理论、语言、方法等方面可以互不相通,根本谈不上统一的数学的图景。

 

从1872年克莱因用“群”的观点统一各种几何开始,到康托尔建立集合论和公理化运动,越来越分化的数学走向综合的趋势逐渐明显。到20世纪初,数学学科的分化和综合都明显加快了。从20年代起,特别是第二次世界大战后,综合的趋势已占主导地位。学科的继续分化实际上已经是综合趋势的一种表现形式,因为新学科的不断出现正在越来越消除各学科之间的传统界限。对于数和形的深入认识,更多地采用多学科的方法的综合认识形式。因此,各门学科更加紧密地联系起来。现代数学发展的辨证法就是这样的,越是理解了整体的各个方面,就越是接近于综合地把握整体。

 

    也许将来会出现一种公认的新观点,把目前的数学统一起来。但是,这种统一只是暂时的、相对的。随着生产和科技的发展,又会产生新的问题,形成新的分支,促进新的分化。数学将在这种不断的分化和综合中不断前进。


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