2012高考数学重点题型复习:函数综合题重点题型归纳

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网


函数综合题重点题型归纳

已知函数.

(Ⅰ)求曲线在点M()处的切线方程;

(Ⅱ)设a0. 如果过点(a, b)时作曲线y=f(x)的三条切线,证明:

设函数.

(Ⅰ)证明:的导数;(Ⅱ)若对所有都有,求的取值范围.

已知函数,.()讨论函数的单调区间;()设函数在区间内是减函数,求的取值范围.

设函数.

(Ⅰ)求的单调期间;(Ⅱ)如果对任何,都有,求a的取值范围.

设函数有两个极值点,且

(I)求的取值范围,并讨论的单调性;(II)证明:

已知,其中是自然常数,

(1)讨论时, 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下,;

(3)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.已知函数(R)的一个极值点为.方程的两个实根为, 函数在区间上是单调的.

(1) 求的值和的取值范围; (2) 若, 证明:

设函数在两个极值点,且

(I)求满足的约束条件,并在坐标平面内,画出满足这些条件的点的区域;

(II)证明:

、是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合:①对任意的,都有;②存在常数,使得对任意的,都有.

(I)设 ,证明:

(II)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;

(III) 设,任取,令,,证明:给定正整数,对任意的正整数,成立不等式函数综合题重点题型归纳解:(Ⅰ)求函数的导数:

曲线处的切线方程为:即

(Ⅱ)如果有一条切线过点(a,b),则存在使

于是,若过点(a,b)可作曲线的三条切线,则方程有三个相异的实数根,记 则

当t变化时,变化情况如下表:

t(-,0)0(0,a)a(a,+)+0-0+?极大值a+b?极小值b-?由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根;

当时,解方程,即方程只有两个相异的实数根;

当时,解方程,即方程只有两个相异的实数根

综上,如果过可作曲线三条曲线,即有三个相异的实数根,则

即 解:(Ⅰ)的导数.由于,故.(当且仅当时,等号成立).

(Ⅱ)令,则,

(?)若,当时,,故在上为增函数,所以,时,,即.

(?)若,方程的正根为,

此时,若,则,故在该区间为减函数.

所以,时,,即,与题设相矛盾.

综上,满足条件的的取值范围是.

解:(1)求导:

当时,,,在上递增当,求得两根为

即在递增,递减,递增

(2),且解得:

解:(Ⅰ)当()时,,即;

当()时,,即.

因此在每一个区间()是增函数,

在每一个区间()是减函数.6分(Ⅱ)令,则故当时,.又,所以当时,,即.当时,令,则.故当时,因此在上单调增加.故当时,,即于是,当时,.

当时,有.因此,的取值范围是.12分

解: (I)

令,其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根,其充要条件为,得

⑴当时,在内为增函数;

⑵当时,在内为减函数;

⑶当时,在内为增函数;

(II)由(I),

设,则

⑴当时,在单调递增;

⑵当时,,在单调递减。

故.

解:(1), 1分

当时,,此时单调递减

当时,,此时单调递增 3分

的极小值为 4分

(2)的极小值为1,即在上的最小值为1, ,

令,, 6分

当时,,在上单调递增 7分

在(1)的条件下,(3)假设存在实数,使()有最小值3,

① 当时,,所以 , 所以在上单调递减,

,(舍去),所以,此时无最小值. 10分

②当时,在上单调递减,在上单调递增

,,满足条件. 11分

③ 当时,,所以,所以在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.

综上,存在实数,使得当时有最小值3.14分

(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)

(1) 解:∵, .

∵的一个极值点为, .

. ,

当时, ;当时, ;当时, ;

函数在上单调递增, 在上单调递减,在上单调递增.

∵方程的两个实根为, 即的两根为,

.,.

∵ 函数在区间上是单调的, 区间只能是区间,,之一的子区间.

由于,故.

若,则,与矛盾..

方程的两根都在区间上. 6分

令, 的对称轴为,

则 解得.实数的取值范围为.

说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.

∵且函数在区间上是单调的, 由 即解得. 实数的取值范围为(2)证明:由(1)可知函数在区间上单调递减,

函数在区间上的最大值为, 最小值为.

∵,

. 10分

令, 则,.

设, 则. ∵, .

.函数在上单调递增.

..

8、分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根

则有故有

右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。

(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标中的,(如果消会较繁琐)再利用的范围,并借助(I)中的约束条件得进而求解,有较强的技巧性。

解: 由题意有①又②

消去可得.又,且

9、解:对任意,,,, 所以

对任意的,,

,所以0,

令=,,, 所以

反证法:设存在两个使得,则

由,得,所以,矛盾,故结论成立。

,所以

+


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