等比数列、数列求和

编辑: 逍遥路 关键词: 高中数学 来源: 高中学习网

一. 教学内容:等比数列、数列求和

二. 重点、难点:

1. 理解等比数列的有关概念;掌握等比数列的通项公式和前 项和公式,并能运用这些解决一些简单的实际问题。

2. 通过观察数列通项公式的特点选择合适的,求数列的前 项和。

【典型例题

[例1] 在等比数列 , ,求 和 是等比数列,故 ,结合 ,可知 的两根,解方程,得

故 , 或 时, ,得 ,故

当 时,

综上所述, 或

[例2] 已知数列 , ,

解:设 成等比数列

为等差数列, , 。

解:由 为等比数列

由已知 ∵ ∴ 知

或 或

[例4] 设等比数列 , )

解:方法一:设公比为 化简得 解得

设数列 前 项和为 ,则

可见,当 时,<4" > 最大

而 ,

故 的前5项和最大

方法二:接前, 于是

∴ 数列<9" > 是以 为首项,以 ,得

由于 ∴ 的前5项和最大

[例5] 求数列的前 项和:

时, 时,

[例6] 在数列 ,求数列 项的和。

解:∵

∴ 数列 项和

的值。

解:设 ①

将①式右边反序得

① ②得

[例8] 已知数列 的表达式;

(2)如果 ,求 项和

解:

(1) ,当

因而

∴ ①

又1 3 5 …

[例9] 已知数列 项和为 ,且满足 ), 是等差数列;

(2)求 时,求证:

解:

(1)证明:∵

又 ∴

∴ 当 [或 ]

当 时,

(3)证明:由(2)知,

中,首项 等于( )

A. 33 B. 72 C. 84 D. 189

2. 若等比数列 的公比 项和为 ,则 与 的大小关系是( )

A. C. 满足 ( ),则当 时, B. C. 中,若 B. D. ( )的结果是( )

A. C. D.

6. 数列 项和为 ,则 等于( )

A. 1003 B. C. 2006 D. 等于( )

A.

B.

D. ,第三年的增长率为 ,则下列关系正确的是( )

A. C.

二. 解答题:

1. 等比数列 项中,数值最大的一项是54,若该数列的前 ,求:

(1)前100项之和 。

2. 已知数列1, , ( 项和。

3. 已知

(1)当 的前 项和 ;

(2)求

4. 设数列 的等差数列,求和:

【答案】

一.

1. C

解析:∵ , 或2. A

解析:由等比数列通项公式和前 项和公式得

又 , 即3. C

解析:由已知

得到 , 由此猜想出4. D

解析:由 ),当 时, 不适合,所以

5. B

解析:∵

6. A

解析: (共1003个)=1003

7. D

解析:原式

8. B

解析:设平均增长率为 ,则第三年产量为 ,所以应该有

二.

1. 解:设公比为

∴ (∵ ②

由①②③解得 ,则

(1)前100项之和

(2)通项公式为

2. 解:由题意可知, 的通项是等差数列 的通项与等比数列 的通项之积,设①-②得当

当 时,

3. 解析:

(1)当 ,这时数列 项和 ①

①式两边同乘以 ,得

若 时,

此时,

若 ,

若 ,

4. 解析:∵ ∴ ∴ 又



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