摘要：本文通过对七年级数学课本中的三个题的分析，基于利用不同的表示方法得出同一图形面积不变的思想，针对各题得出了类似的变形，并得出了对应的恒等式。若通过在教学中的引导，让学生小组合作完成这些问题，将进一步拓展学生的发散思维、提高小组合作意识及能力。
　　
　　关键词：面积，长方形，正方形，变形，恒等式
　　
　　在北师大版七年级数学下册第一章中，有这样的三个题：
　　
　　1、（第31页）利用如下的长方形卡片拼成更大的长方形（每种卡片有若干张）。
　　
　　下面分别是小明、小颖拼出的图形：
　　 
　　（1）用不同的形式表示小明所拼长方形的面积，并进行比较。
　　
　　（2）用不同的形式表示小颖所拼长方形的面积，并进行比较。
　　
　　略解：（1）
　　
　　（2）
　　
　　2、（第37页）如图所示，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形。
　　
　　（1）请表示图1中的阴影部分的面积。
　　
　　（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
　　
　　（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
　　

                 
图1                                                   图2
　　

　　略解：（1）；
　　
　　（2）长为，宽为，面积为；
　　
　　（3）
　　
　　3、（第40页）一块边长为米的正方形实验田，因需要将其边长增加米，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图3所示）。用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较。你发现了什么？
　　

图3

　　略解：总面积可以表示为：，
　　
　　还可以表示为：；
　　
　　通过比较，我发现：。

　　
　　通过对以上三个题的分析，我发现它们都是利用不同的表示方法得出同一图形面积，基于面积不变的思想，得出结论。为此，针对各题我得出了如下类似的变形：
　　
　　由第1题得到的变形：
　　
　　增加小卡片，可以得到以下拼图（图4、图5）
　　
　　由图4可以得到恒等式：
　　
　　由图5可以得到恒等式：
　　
　　

      

图4                                      图5
　　

　　由第2题得到的变形：
　　
　　改变剪切方式（如图6、图10），利用不同的拼接方法可以得到不同的拼图（如图7、图8、图9、图11）：
　　
　　图7拼成了一个长为a+b，宽为a-b的长方形；图8拼成了一个底为a+b，高为a-b的平行四边形；图9拼成了一个两底分别为2a、2b，高为a-b的等腰梯形；图11拼成了一个底为a+b，高为的平行四边形a-b；它们都验证了平方差公式。
　　
　　由第3题得到的变形：
　　
　　增加不同的边长，可以得到不同的拼接方式（图12、图13、图14、图15），进而得到不同的恒等式。
　　
　　图12、图13、图14都可以得到相同的恒等式：
　　
　　图15可以得到恒等式：
　　
　　

图15

　　
　　以上针对第1题、第3题的变形还有很多，这里只给出了几种，但只要我们认识到它的本质都是面积不变，相信只要出现类似问题，我们都能圆满解决。
　　
　　总之，只要我们用心去研究教材，用心去引导学生学习，我们就可以得到许多蕴含在教材与教学中的知识，使我们与学生一起提高，一起得到成功的体验。

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