第一章 勾股定理
1.1探索勾股定理
专题一 有关勾股定理的折叠问题
1. 如图，将边长为8c的正方形ABCD折叠，
使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，
折痕为N，则线段CN长是（　　）
A．3cB．4c
C．5cD．6c

2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求∠DKG的度数．
3． 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点、N．
（1）如图①，当A=BN时，将△AC沿C折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，P=A，PN=BN，△PN的形状是_______________．线段A、BN、N之间的数量关系是______________________________；
（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段N、A、BN之间的数量关系是_______________．试证明你的猜想；
（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段N、A、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）

① ② ③

专题二 勾股定理的证明
4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．

问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．
问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．
问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．

5. 如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图① 中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．
（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．
（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．

答案：
1．A 【解析】设CN=x c，则DN=（8-x）c. 由折叠的性质知EN=DN=（8-x）c，
而EC= BC=4 c，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，
整理得16x=48，所以x=3．故选A．
2．解：∵DF= CD= DG，∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，
∴∠EKG=∠DGF=30°．∵2∠DKG+∠GKE=180°，∴∠DKG=75°．
3．解：（1）根据折叠的性质知：△CA≌△CP，△CNB≌△CNP．∴A=P，∠A=∠CP，PN=NB，∠B=∠CPN. ∴∠PN=∠A+∠B=90°，P=PN=A=BN.
故△PN是等腰直角三角形，A2+BN2=N2（或A=BN= N）．
（2）A2+BN2=N2.
证明:如图,将△AC沿C折叠，得△DC，连DN，
则△AC≌△DC，∴CD=CA，D=A，∠DC=∠AC.
同理可知∠DCN=∠BCN，△DCN≌△BCN，DN=BN，
而∠DC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠DN=90°，
∴D2+DN2=N2，故A2+BN2=N2．
（3）A2+BN2=N2；解法同（2）．
4．解：探究1：由等边三角形的性质知：S′= a2，S″= b2，S= c2，
则S′+ S″= （a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．
探究2：由等腰直角三角形的性质知：S′= a2，S″= b2，S= c2．
则S′+S″= （a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．
探究3：由圆的面积计算公式知：S′= πa2，S″= πb2，S= πc2．
则S′+ S″= π（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．
5．解：（1）如图所示，
根据正方形的面积可得（a+b）2=4× ab+c2，
即a2+b2=c2．

（2）如图所示．

1.2一定是直角三角形吗
专题 判断三角形形状
1. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2. 在△ABC中，a=2+n2，b=2-n2，c=2n，且＞n＞0，
（1）你能判断△ABC的最长边吗？请说明理由；
（2）△ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明．

3. 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n2345…
a22-132-142-152-1…
b46810…
c22+132+142+152+1…
（1） 请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示a，b，c．
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．

答案：
1．D 【解析】 ∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，
∴c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，
∴（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，
即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
2．解：（1）a是最长边，其理由是：
∵a-b=（2+n2）-（2-n2）=2n2＞0，
a-c=（2+n2）-2n=（-n）2＞0，
∴a＞b，a＞c，
∴a是最长边.
（2）△ABC是直角三角形，其理由是：
∵b2+c2=（2-n2）2+（2n）2=（2+n2）2=a2，
∴△ABC是直角三角形．
3．解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=22-1，b=2×2，c=22+1；
n=3时，a=32-1，b=2×3，c=32+1；
n=4时，a=42-1，b=2×4，c=42+1.
∴a=n2-1，b=2n，c=n2+1．
（2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形.
∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．

1.3勾股定理的应用
专题 最短路径的探究
1. 编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱
表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，…，则
每一根这样的竹条的长度最少是______________.
2. 请下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为5d，BC是底面
直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.
小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：

设路线1的长度为 ，则 ；
路线2：高线AB + 底面直径BC，如上图（1）所示，
设路线2的长度为 ，
则 .
.
∴ ∴
所以要选择路线2较短。
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的
底面半径为1d，高AB为5d”继续按前面的方式进行计算.
请你帮小明完成下面的计算：
路线1： ___________________；
路线2： __________ ,
∵ , ∴ ( 填>或<).
所以应选择路线____________(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.

3. 探究活动:有一圆柱形食品盒，它的高等于8c，底面直径为 c，蚂蚁爬行的速度为2c/s.
（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）

（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）

答案：
1. 【解析】 底面周长为a、高为b的圆柱的侧面展开图为矩形,它的边长分别为a,b，所以对角线长为 ，所以每一根这样的竹条的长度最少是 .
2.解：（1）25+π2 49 ＜ ＜ 1
（2）l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2，
l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，
l12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h].
r恒大于0，只需看后面的式子即可．
当r= 时，l12=l22；
当r＞ 时，l12＞l22；
当r＜ 时，l12＜l22．
3.解：（1）如图，AC=π• ÷2=9c，BC=4c，则蚂蚁走过的最短路径为：AB= = c，所以 ÷2= （s），即至少需要 s．

（2）如图，作B关于EF的对称点D，连接AD，交EF于点P，连接BP，则
蚂蚁走的最短路程是AP+PB=AD，由图可知，AC=9c，CD=8+4=12（c）．
所以AD= =15（c），15÷2=7.5（s）
即至少需要7.5s．

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