第14章 一次函数
一、全章知识小结
（一）函数
1、定义：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；③自变量每确定一个值，函数有且只有一个值与它对应。
2、表示函数的方法有：
3、函数自变量的取值围的求法：①分母≠0；②根号里面的整体不小于0；③其他情况都是任意实数；④但在实际问题中，自变量的取值就要根据具体情况用不等式求了。
4、函数的画图具体方法：①列表（取点）；②在直角坐标系上描出表格中的各对数；③连线。
5、函数的应用：列出解析式，利用自变量或函数值求具体问题。
（二）正比例 函数
1、解析式是 ；图象： 。
2、性质：（1）k>0：函数经过第 象限，y随x的增大而 ；（2）k<0:函数经过第 象限，y随x的增大而 ；（3）当 越大，直线与x轴的正半轴的夹角就越
3、求解析式：只要知道 点即可。如：正比例函数经过点（-2，6），则它的解析式
是
（三）一次函数
1、解析式是
2、图象：
3、画一次函数的图象：找 个点，格式：当x=0时，y= ；当y=0时，x= 。
4、性质：（1）k，b的正负决定函数经过的3个象限：①k>0，b>0：函数经过第 象限，y随x的增大而 ；②k>0，b<0：函数经过第 象限，y随x的增大而 ；③k<0，b>0：函数图象经过第 象限，y随x的增大而 ；③k<0，b<0：函数经过第 象限，y随x的增大而 。
图象的判定：根据下列图象，写出符合图象的k，b的取值范围：① ；② ；
③ ；④ 。

（1） （2） （3） （4）
例：（1）函数y=(+2)x-4+3经过第二、三、四象限，则的取值是 ；如y=(a+3)x+(b-5)中，y随x的增大而减小，则a ，b 。（2）b的性质：①b可以直接从图象上看出，即与y轴的交点；②b=0就是直线经过原点；③b>0就是与y轴的交点在x轴的上方；④b<0就是y轴的交点在x轴的下方。（3）与x轴的交点是（ ），与y轴的交点是 。如：y=-2x+4与x轴、y轴的交点是 。（4）与两坐标轴围成的三角形的面积是 ；如：y=-2x+4与x轴、y轴围成三角形的面积是 。（5）平行：如直线y=6x-4与y=-6x+9平行。（6）两直线相交的交点坐标是两直线组成的方程组的解。如： 。（7）直线向上、下的平移：如y=2x-4向 平移 个单位得到y=2x。（由b决定）
5、求函数的解析式：
（1）已知两个点的坐标即可求解析式。如：直线经过（-1，3）和（-2，6）的函数解析式：
。所以，必须集中精力求出两个点的坐标。如：直线与y=-7x+3交于y轴上，且与y=x-4交于点（a，-5），则（必须求出）直线经过的两个点的坐标是 。（2）根据图象求：其实也是集中精力找出两个点的坐标；如：如图的解析式是 （3）在实际中，则多数是利用方程的知识列解析式，这点更为重要。
6、面积问题：
（1）一条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积，就是与两坐标轴的交点坐标的绝对值相乘的积的一半；（2）两直线与一条坐标轴围成的三角形的面积，方法：①求出两直线的交点坐标；②分别求出两条直线与该坐标轴的交点坐标，这两个点的距离就是底边；③高就是交点坐标的横坐标（或纵坐标）的绝对值。
7、一次函数与不等式、一元一次方程、二元一次方程组都有密切的联系，在y=kx+b中，y=0可得一元一次方程kx+b=0；y>0即得不等式kx+b>0；两个一次函数图象的交点就是二元一次方程组的解。注意：一次函数与不等式、一元一次方程、二元一次方程组的关系运用在实际应用题和图象中，才是它们之间的真正联系和应用。
（四） 一次函数的应用题
1、题目中点明是一次函数，如有××是××的一次函数，解法是：设一次函数的解析式是
，再根据题目中的量利用待定系数法求出。
2、利用不等式（或组）求x的范围，再利用函数的增减求y的最大（小）值，有时也与方案设计相结合。解题步骤：（1）列出解析式；（2）求x的取值范围；（3）由k的正负决定“y随x的增大而 ；结合x的取值，取x= ，y有最 值；（4）求y的最值；（5）答。
3、分段函数的关系式，然后给出数据求值，但要判断这个值是属于哪一个段的关系式。
二、类型题练习
一、
1、如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿 -A-B-的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点的距离y与时间x之间关系的函数图象是（　　）
2、下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A、y=4x+1 B、 C、 D、
3、当k>0时，正比例函数y=kx的图象大致是（　　）

Ａ　　　　　　 　Ｂ　　　　　　　Ｃ　　　　　　　　Ｄ
4、一次函数y=kx+3中，当x=2时，y=-3，那么当x=-2时，y等于（ ）
A、-1 B、-3 C、7 D、9
5、函数y=kx+b的图象如图所示，当y<0时x的取值范围是（ ）
A、 x<-2 B、x>-2 C、x<-1 D、x>-1
6、直线l1：y=k1x+b与直经l2：l2=k2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b>k2x的解为（ ）
A、x>-1 B、x<-1 C、x<-2 D、无法确定
7、如果直线y=3x+6与y=2x-4的交点坐标为(a，b)，则 是哪个方程的解（ ）
A、 B、 C、 D、
8、已知A，B两地相距4千米，上午8：00，甲从A地出发步行到B地，上午8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲，乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达A地的时间为（　　）
A、8：30 B、8：35 C、8：40 D、8：45
9、如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠ADE=∠C，且AB=5，AC=4，AD=x，AE=y，则y与x的关系式是( )
A、y=5x B、y= C、y= D、y=
10、下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
二、题
1、函数 中自变量x的取 值范围是
2、用如图所示的程序计算函数值，若输入的x的值为 ，则输出的函数的值为
3、如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点B出发，沿BC运动到点C，设点P（不与B、C重合）运动的路程为x，梯形APCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ，其中自变量x的取值范围是
4、如图1，一次函数y=ax+b的图象经进A、B两点，则关于x的不等式
Ax+b<0的解集是
5、如图2，已知函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点p（-2，-5），则根据图象可得不等式3x+b>ax-3的解集是
6、如图3，直线l1：y=x+1与直线l2：y=x+n相交于点p(a，2)，则关于x的方程组 的解为
图1 图2 图3
7、点（-2，y1），（3，y2） 在直线y=-x+2上，则y1与y2的大小是
8、若一次函数y=-x+2的图象经过点（，3），则=
9、一次函数y=-x+1经过点P(，-1)，则=
10、函数y=(2+1)x-2-经过原点，则= ，则它的解析式是
11、一次函数平行于y=-5x，且与y轴交于（0，3），则它的解析式是
12、物体沿一个斜坡下滑，它的速度V（米/秒）与其下滑t（秒）的关系如图所示，则：（1）下滑2秒时物体的速度为
（2）V（米/秒）与t（秒）之间的函数表达式为
（3）下滑3秒时物体的速度为
13、如图所示，利用函数图象回答下列问题：
（1）方程组 的解为
（2）不等式2x>-x+3的解为
14、已知函数 ，其中 表示x=a时对应的函数值，如 ， ， ， ，则
三、解答题
1、已知y-4与x成正比例，且x=6时y=-4
（1）求y与x的函数关系式。
（2）此直线在第一象限上有一个动点P(x，y)，在x轴上有一点C（-2，0）。这条直线与x轴相交于点A。求△PAC的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

2、已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围为-2≤x≤6，相应的函数值的取值范围是
-11≤x≤9，求函数的解析式。

3、某市自水公司为鼓励居民节约用水，采用按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示 。
（1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数解析式；
（2）若某用户该月用水21吨，则应交水费多 少元？

4、汽车的油箱中的余油量Q（升）是它行驶的时间t（小时）的一次函数．某天该汽车外出，刚开始行驶时，油箱中有油60升，行驶了4小时后，发现已耗油20升．
（1）求：油箱中的余油Q（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式；
（2） 求：这个实际问题中的时间的取值范围，并在右下角的直角坐标系中画出此函数图象；
（3）从开始行驶算起，如果汽车每小时行驶40千米，当油箱中余油20升时，该汽车行驶了多少千米？

5、某工程招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲工种每月的工资为600元，乙工种每月工资为1000元，要求乙工种的人数不少于甲工种的2倍，问甲、乙两种工种的工人各招聘多少名时，每月所付的工资总额最少？

6、A、B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度。

四、解答题
1、某工厂有20名工人，每人每天加工甲种零件5个 或乙种零件4个．在这20名工人当中，派x人加工甲种零件，其余的加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可以获利24元．
（1）写出此工厂每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式
（2）若要使工厂每天获利不低于1800元，问至少要派多少人加工乙种零件。

2、康乐公司在A、B两地分别有同型号的机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台．从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表：
甲地（元/台）乙地（元/台）
A地600500
B地400800
（1）如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）与x（台）的函数关系式；（2）若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？

3、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同。设汽车每月行驶x k，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图像（两条射线）如图所示，观察图像回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300 k，那么这个单位租哪家的车合算？

4、某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销售香水和护肤品．总公司现香水70瓶，护肤品30瓶，分配给甲、乙两家分公司，其中40瓶给甲公司，60瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表．
（1）假设总公司分配给甲公司x瓶香水，求：甲、乙两家 公司的总利润W与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利 润高？并说明理由；
（3）若总公司要求总利润不低于17370元，请问有多少种不同的分配方案，并将各种方案设计出．
每瓶香水利润每瓶护肤品利润
甲公司180200
乙公司160150

5、已知一次函数的图象经过点A（-3，2）、B（1，6）．
①求此函数的解析式．
②求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积．

7、如图所示，在等腰三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC=4米，点P以1米/分的速度从A点出发移动到B点，同时点Q以2米/分的速度从点B移动到C点（当一个点到达后全部停止移动）。
（1）设经过x分钟后，△PCB的面积为y1，△QAB的面积为y2，求出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）同时移动多少分钟，这两个三角形的面积相等？
（3）移到时间在什么范围内时，①△PCB的面积大于△QAB的面积？②△PCB的面积小于△QAB的面积？

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