图形的展开与叠折
一、
1．（2013湖北黄冈，7，3分）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（ ）

A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π
【答案】C．
【解析】由图示侧面展开图――矩形联想圆 柱形状可得图1和图2两种圆柱．设圆柱的底面圆半径为r，在图1中有2πr＝4π，r＝2,所以底面圆的面积为4π；在图2中有2πr＝2π，r＝1，所以底面圆的面积为π．综上可知圆柱底面圆的面积为π或4π．

【方法指导】本题考查空间观念，分类讨论的数学思想方法．解答时，一要理解圆柱和其侧面展开图之间的数量关系．2.注意分两种情况讨论求解．由于本题是型，因了C、D这样的两解答案，可以引导学生发现图1和图2两种情况，无形中降低了解题难度．这也启示我们在遇到这种命题结构的选择题时，要严谨、细致的多思量，再下笔．
【易错警示】易漏掉一种情况而错选A或B．如果本题以题的面貌呈现，学生较易联想到图1情形而错解为4π．
2．（2013重庆，7，4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6c，BC=8c，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）
A．6c B．4c C．2c D．1c

【答案】C
【解析】由折叠可知，∠BAE=∠B1AE，∴∠BAE=∠B1AE=45°，又∵∠B=45°，∴∠AEB=45°，∴BE=AB=4，∴CE=BC－BE=8－6=2．故选C．
【方法指导】本题考查了折叠变换，需明确折叠变换 是全等变化，同时综合考查了等腰三角形的判定以及线段的和差问题．轴对称的性质是解决此类问题的关键，轴对称的性质是：对应边和对应角相等，成轴对称的两个图形全等；正确的找出对称边和对称角是我们解题的关键．
【易错警示】对折叠的全等性质不能掌握，对结果只能想当然判断．
3．（2013四川南充，9，3分）如图，把矩形ABCD沿EF翻转，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12　　B．24　　C． 　　D．

【答案】：D．
【解析】连接BE，根据矩形的对边平行可得AD∥BC，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠AEF=120°，两直线平行，内错角相等可得∠DEF=60°，再根据翻折变换的性质求出∠BEF=∠DEF，然后求出∠AEB=60°，再解直角三角形求出AB，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【方法指导】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
4.. [2013山东菏泽，3，3分]下列图形中 ，能通过折叠围成一个三棱柱的是（　　）
　　A． 　　B． 　　C． 　　D．
【答案】C
【解析】直棱柱中的三棱柱，上、下两个面是三角形面，互相平行，侧面是三个矩形围成.其展开图共有5个面.选C
【方 法指导】本题考查了立体图形展开与平面图折叠.立体图形展开与平面图折叠，往往可以进行动手操作或进行空间联想获取符合要求的答案.
【易错提示】错误分析后选B
5．（2013广西钦州，3，3分）下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（　　）
　A． B． C． [来D．

考点：几何体的展开图．
分析：根据三棱柱的展开图的特点进行解答即可．
解答：A、是三棱锥的展开图，故选项错误；
B、是三棱柱的平面展开图，故选项正确；
C、两底有4个三角形，不是三棱锥的展开图，故选项错误；
D、是四棱锥的展开图，故选项错误．
故选B．
点评：此题主要考查了几何体展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
6．（2013湖南郴州，8，3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（　　）

　A．25°B．30°C．35°D．[来40°
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
解答：解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°?25°=65°，
∵△CDB′由△CDB反折而成，
∴∠CB′D=∠B=65°，
∵∠CB′D是△AB′D的外角，
∴∠ADB′=∠CB′D?∠A=65°?25°=40°．
故选D．
点评：本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键．
7. （2013江苏南京，6，2分）如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂
有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是

答案：B
解析：涂有颜色的面在侧面，而A、C还原后，有颜色的面在底面，故错；D还原不回去，故错，选B。
8. 2013•宁波3分）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（　　）
　A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】A、剪去阴影部 分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
【方法指导】此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的 空间想象能力．
9．（2013山西，3，2分）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ）

【答案】A
【解析】长方体的四个侧面中，有两个对对面的小长方形，另两个是相对面的大长方形，B、C中两个小的与两个大的相邻，错，D中底面不 符合，只有A符合。
10.（2013四川巴中，3，3分）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（　　）

　A．大B．伟C．国D．的
考点：专题：正方体相对两个面上的文字．245761
分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．
解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“伟”与面“国”相对，面“大”与面“中”相对，“的”与面“梦”相对．
故选D．
点评：本题考查了正方体的展开图，注意正方体 的空间图形，从相对面入手，分 析及解答问题．
11.（2 013四川绵阳，5，3分）把右图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（ B ）

［解析］两个全等的三角形，再侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱，一个底面相邻可以是三个长方形， 只有B。
12．（2013河南省，5，3分）如图是 正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字。那么在原正方形中，与数字“2”相对的面上的数字是【】
（A）1 （B）4 （C）5 （D）6
【解析】将正方形重新还原后可知：“2”与“4”对应，“3”与“5”对应，“1”与“6”对应。
【答案】B

二、题
1.(2013山东烟台，17,3)如图，△ABC中，AB=AC．∠ BAC =54°，∠ BAC 的平分线与AB的垂直平分线相交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为________度.
【答案】108
【解析】如图：连接OB、OC，∵AB=AC，AO是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一定理确定出点O是△ABC的外心，∴OB=OC.∵∠ BAC=54°，OD是AB的垂直平分线，AB=AC∴∠BAO=∠ABO=27⩝，∠ABC=63⩝，∴∠OBC=∠OCB
=63⩝－27⩝=36⩝，根据折叠的不变性得OE=OC，在△OEC中∠OEC=180⩝－36⩝－36⩝=108⩝

【方法指导】本题考查了折叠、等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、折叠、垂直平分线的性质.在等腰三角形中有角平分线时，常用到等腰三角形三线合一定理，当与一边的垂直平分线相结合确定三角形的外心.将某一个图形按某种要求折叠后，会得到以折痕为对称轴的轴对称图形，解决图形的折叠问题时，根据折叠的不变性，常得到等腰三角形、直角三角形、全等三角形等知识
2．（2013•东营，16，4分）如图，圆柱形容器中，高为1．2，底面周长为1，在 容器内壁离容器底部0．3的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上 沿0．3与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 （容器厚度忽略不计）．

答案： 1．3
解析：因为壁 虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对 称点 ，连接 ，则 与EF的交点就是所求的点P，过B作 于点，在 中， ， ，所以 ，因为 ，所以壁虎捉蚊子的最短距离为1．3．
16题答案图

3．（2013上海市，18，4分）如图5，在△ 中 ， ， ， tan C = 32 ，如果将△
沿直线l翻折后，点 落在边 的中点处，直线l与边 交于点 ，
那么 的长为__________．
4.（2013山西，16，3分），将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为______.

【答案】
【解析】由勾股定理求得：B D=13，
DA=D =BC=5，∠D E=∠DAE=90°，设AE=x，则 E=x，BE=12－x，B =13－5＝8，
在Rt△E B中， ，解得：x ＝ ，即AE的长为
5．（2013湖北省咸宁市，1，3分）如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“香”相对的面上的汉字是　泉　．

考点：专题：正方体相对 两个面上的文字．
分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解答：解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“力”与“城”是相对面，
“香”与“泉”是相对面，
“魅”与“都”是相对面．
故答案为泉．
点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
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三、解答题
1．（2013浙江台州，22，12分）如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．
求证：（1）∠1=∠2；
（2）DG=B′G．

【思路分析】(1)∠1是折叠后所得到的角，根据轴对称的性质，易得∠1=∠CEF，再由平行四边形的对边平行，可得∠2=∠CEF，∴∠1=∠2.
（2）欲证DG=B′G，可证它们所在的两个三角形全等，即△DEG≌△B′FG。
【解】证明：（1）由折叠知，∠1=∠CEF，
又由平行四边形的性质知，CD∥AB，
∴∠2=∠CEF，
∴∠1=∠2．
（2）由折叠知，BF= B′F，
又∵DE=BF，
∴DE= B′F，
由（1）知∠1=∠2，
∴GE= GF，
又由平行四边形的性质知，CD∥AB，
∴∠DEF=∠EFB，
由折叠知，∠EFB=∠E F B′，
∴∠DEF=∠EF B ′，
即∠DEG+∠1=∠G F B′+∠2，
∴∠DEG=∠GF B′，
∴△DEG≌△B′FG（SAS），
∴DG=B′G．
【方法指导】本题考查轴对称的性质、平行四边形的性质、全等三角形的证明等知识点，首先折叠问题是一种常见题型，折叠前后的两个图形对应边、对应角相等，也就是说折叠变换就是全等变换。另外本题考查了一种常见的解题思路，证明两条线段相等或两个角相等，可以证明它们所在的两个三角形全等。

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