门头沟区2013—2014学年度第一学期期九年级数学试卷
一、（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1. 如果 ，那么下列比例式变形正确的是
A.. B. C. D.
2．如图，已知P是射线OB上的任意一点，P⊥O A于，
且O : OP=4 : 5，则cosα的值等于
A． B． C． D．
3.如图，点 都在⊙O上，若 ，则 为
A． B． C． D．
4.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外 D．无法确定
5.如图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同
一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和10米．已知小华
的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为_______．
A．8 米 B．16米 C．32 米 D．48米
6．一个袋子中装有10个球，其中有6个黑球和4个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率为
A． B． C． D．
7.将抛物线y=3x2向右平移2个单位，则新抛物线的解析式是
A． B．
C． D．
8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，
连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则
能反映y与x之间函数关系的大致图象是
二、题（本题共16分，每小题4分）
9．如果两个相似三角形的周长分别是10c、15c，小三角形的面积是24c2，那么大三角形的面积是_________c2．
10．已知反比例 函数图象在各自的象限内，y随x的增大而减小，则的取值范围是__________．
11．如图，在 中， ，AE=3，EC=2且DE=2.4，则BC等于______.
12．如 图，在平面直角坐标系中，已知点A ，B ，对△AOB连续作旋转变换， 依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第（3）个三角形的直角顶点的坐标是 ；第（2014）个三角形的直角顶点的坐标是__________．
三、解答题（本题共20分，每小题5分）
13. 计算：
14. 已知:如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED =∠B.若AE=5，AB= 9，CB=6 .
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）求ED的长.
15. 已知:二次函数y=x2-4x+3.
（1）将y=x2-4x+3化成 的形式；
（2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y＜0.
16.已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：∠CDB=∠A；
（2）若BD=5，AD= 12，求CD的长．
四、解答题（本题共12分，每小题6分）
17. 如图，已知直线 与反比例函数 的图象相交于点A（－1，a），并且与x轴相交于点B．
（1）求a的值;
（2）求反比例函数的表达式;
（3）求△AOB的面积.
18. 已知二次函数y1=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，-3），B（-1，0），与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求点C、点D的坐标；
（3）若一条直线y2,经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时， 的取值范围．
五、解答题（本题共10分，每小题5分）
19.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，CD＝6，AB=15， .求：BC的长.
20.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC等于多少米？
六、解答题（本题共8分，每小题4分）
21. 小亮暑假期间去上海参观世博会，决定上午从中国馆（用A表示，下同）和韩国馆（B）中随机选一个馆参观，下午再从日本馆（C）、非洲馆（D）、法国馆（E）中随机选一个参观，求小亮全天参观的都是亚洲国家展馆的概率是多少？（要求写出用列表法或画树状图法求解的过程）
22. 如图，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点） ．
（1）若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似但不全等，请作出所有符合要求的点P；
（2）请写出符合条件格点P的坐标．
七、解答题（本题7分）
23. 已知抛物线 的顶点在x轴上，且与y轴交于A点. 直线 经过A、B两点，点B的坐标为（3，4）.
（1）求抛物线的解析式，并判断点B是否在抛物线上；
（2）如果点B在抛物线上，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h ，点P的横坐标为x.当x为何值时，h取得最大值，求出这时的h值.
八、解答题（本题7分）
24．如图，四边形 、 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形 可以绕中心 旋转,正方形 静止不动．
（1）如图1，当 四点共线时，四边形 的面积为__；
（2）如图2，当 三点共线时，请直接写 出 = _________；
（3）在正方形 绕中心 旋转的过程中，直线 与直线 的位置关 系是______________,请借助图3证明你的猜想．
九、解答题（本题8分）
25.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C 两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线 与BC边相交于点D.
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线 经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点，点P为对称轴上一动点，以P、A、为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标.
门头沟区2013—2014学年度第一学期期末调研试卷九年级数学评分参考
一、（本题共32分，每小题4分）
1. C 2.C 3.D 4.C 5. C 6.C 7.A 8. C
二、题（本题共16分，每小题4分）
9. 54 10.＞2 11.4 12. (12，0)；(8052，0)
三、解答题（本题共20分，每小题5分）
13.解: 原式= ……………………4分
=
= ……………………5分
14.解：∵∠AED =∠ABC，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC. ……………………2分
∴ . ……………………3分
∵AE=5，AB= 9，CB=6,
∴ , ……………………4分
∴ ……………………5分
15.解：（1）y=x2-4x+4-4+3 …………………… 1分
=(x-2)2-1. …………………… 2分
（2）对称轴为x=2， ……………………3分
顶点坐标为（2，-1）. ……………………4分
（3）∴当1<x＜3时，y<0 ……………………5分
16.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴. …………………………1分
∴∠A =∠CDB. ………………………………2分
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90° .……………………………3分
∴ . ……4分
∵
13×DE=12×5
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CD=2DE=2 = . ……………………5
四、解答题（本题共12分，每小题6分）
17.（1）将A（－1，a）代入y=－x＋4中，
得：a=－(－1)+2 所以a =3 …………1分
（2）由（1）得：A（－1，3）
将A（－1，3）代入 中，得到
即k=－3 …………2分
所以反比例函数的表达式为： …………3分
（3）如图：过A点作AD⊥x轴于D
因为 A（－1，3）所以 AD=3 …………4分
在直线y=－x＋2中，令y=0，得x=2
所以 B（2，0）即OB=2 …………5分
所以△AOB的面积S= ×OB×AD= ×2×3=3…6分
18解：(1)由已知得： ，…………………1分
即 ，解得 …………………2分
∴所求的二次函数的解析式为 .
(2)令x=0，可得y=-3，∴C(0,-3) ……………3分
令y=0，可得x2-2x-3=0
解得：x1=3；x2= -1(与A点重合，舍去）……4分
∴D(3，0) ………………5分
(3)x<0或x>3 ……………………6分
五、解答题（本题共10分，每小题5分）
19.解：过点C作CE⊥AB交AB于E,………………1分
∵AB∥CD，∠A＝90°
∴∠D＝90°
∴四边形AECD是矩形.
∴AE=DC=6. ……………… 2分
∵AB=15，
∴BE=9. ………………… 3分
在Rt△BEC中，
∵ ，BE=9.
∴CE=6. ……………4分
由勾股定理，得 …5分
20.解：设灯塔P到环海路的距离PC长为 米
根据题意可知：
………………………1分
………………………2分
………………………3分
………………………4分
………………………5分
即PC=
六、解答题（本题共8分，每小题4分）
21.列表，或画树状图 ………………………………2分
由表（树状图），可知：共有6种等可能结果，
并且每种结果发生的可能性机会均等，其中
都是亚洲国家展馆的有
（A、C）、（B、C）共2个. ………………3分
∴小亮第一天全天参观的都是亚洲国家展馆的概率
P（都是亚洲国家）= = . ……………4分
22.（1）作图正确。（作对一个点P，得1分，共2分）……………2分
(2) ； ………………4分
23.（1)∵抛物线 的顶点在x轴上，
∴ .
∴b=±2 . …………………1分
∴抛物线的解析式为 或 .…2分
将B（3，4）代入 ，左=右，
∴点B在抛物线 上.
将B（3，4）代入 ，左≠右，
∴点B不在抛物线 上.………………………3分
（2）∵A点坐标为（0 ，1），点B坐标为（3，4），直线 过A、B两点
∴ .∴ ………………………4分
∴ .
∵点B在抛物线 上.
设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE .
∴ PE=h=yP－yE
=(x+1)－(x2－2x+1)
=－x2+3x .……………………5分
即h=x2+3x (0＜x＜3).
∴当 时，h有最大值 …………………6分
最大值为 …………………7分
24．（1） = =6； …………………………1分
（ 2） = ； ……………………2分
（3） . ……………………3分
证明：连接 ，延长 交 于 点.
如图所示：
由正方形的性质可知：
………………4分
，
即：
△ ≌△ …………………5分
………………6分
. 即： . ………………7分
25(1) ∵四边形OABC为矩形，C(0,3)
∴BC∥OA，点D的纵坐标为3. ------------------1分
∵直线 与BC 边相交于点D，
∴ . ∴点D的坐标为(2,3) ------------------2分
(2) ∵若抛物线 经过A(6,0)、D(2,3)两点，
∴ ----------------3分
解得： ∴抛物线的解析式为 .----- 4分
(3) ∵抛物线 的对称轴为x=3， -----------5分
设对称轴x=3与x轴交于点P1，∴BA∥P1，
∴∠BAD=∠AP1.
①∵∠AP1=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AP1.
∴P1 (3，0). ------------6分
②当∠AP2=∠ABD=90°时，△ABD∽△AP2.
∴∠AP2=∠ADB
∵AP1=AB，∠AP1 P2=∠ABD=90°
∴△AP1 P2≌△ABD
∴P1 P2=BD=4 --------------7分
∵点P2在第四象限，∴P2 (3，-4). ---------------8分
∴符合条件的点P有两个，P1 (3，0)、P2 ( 3，-4).
备注：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分
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