全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷
一、
⑴若四个互不相等的正实数 满足 ， ，则 的值为（）
⑵一个袋子中装有 个相同的小球，它们分别标有号码 .摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）
⑶如图，矩形纸片 中， ， ，将其折叠，使点 与点 重合，得折痕 ，则 的长为（）
（A） （B） （C） （D）
⑷在正就变形 中，若对角线 ,则 的值等于（）
（A） （B） （C） （D）
⑸有 个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加1 项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则 的最小值等于 （ ）
( ) 171 ( ) 172 ( ) 180 ( ) 181
二、题
⑹若 ，则 的值为
⑺若四条直线 所围成的凸四边形的面积等于 ，则 的值为__________.
⑻如图，半径为 的 沿折线 作无滑动的滚动，如果 ， ，那么， 自点 至点 转动了__________周.
(9)如图，已知 中， 为 中点， 为 边三等分点， 分别交 于点 ，则 等于¬_______.
(10)若平面内有一正方形 ， 是该平面内任意点，则 的最小值为______.
三、解答题
⑾已知抛物线 经过点 ，且与 轴交于两点 ，若点 为该抛物线的顶点，求使 面积最小时抛物线的解析式。
⑿如图，分别以边长1为的等边三角形 的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点 ，连接 交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交边 于点 ，求 的长。
⒀已知 与 同为质数，求 的值。
⒁已知关于 的不等式组 的解集中的整数恰好有2个，求实数 的取值范围。
答案及详解
1、答案： 。可将 与 看做方程 的两个解，则 化为 ，因为 ，所以原式
2、答案：D。可以分四种情况讨论：若第一次抽出1号球，则第二次抽出任一球都可满足条件，概率为 ；若第一次抽出2号球，则第二次抽出 号球可满足要求，概率为 ；若第一次抽出3号球，则第二次抽出 号球可满足要求，概率为 ；若第一次抽出4号球，则第二次抽出4号球可满足要求，概率为 ；加和得到最后概率为
3、答案： 。因为 ，所以 ，根据勾股定理得到 ，得到 ，易得 ，过点 作 于 ， ，
4、答案： 。如图，设 为正九边形 的中心，连结 ，则 ， ，又易得 ， ，在 上截取 连结 ， ， ， ，又 ， ， ，又
5、答案： 。对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项。报一项比赛的方式有4种，报两项比赛的方式有 种，每个人报名方式有9种，要求有20人相同，可以让每一种方式都有19个人，然后只要任意一种再加一个人即可。所以应该为
6、答案： 。 ，展开后 ， ， 即 ， ，
7、答案： 或 。无论 为正或负，围成的图形均为直角梯形或直角三角形，面积都等于中位线乘以高，高为4，则中位线为3。中位线一定在 这条直线上，则可得到中点坐标为 或 ，则代入 得到 或
8、答案： 。 的长度刚好为圆的一个周长，4段线段长度和为4倍周长，也就是圆转了4周，但经过点 从 到 时，从与 相切到与 相切转动了一个 补角的度数，同理 两点都要转一个补角度数，总共转了 ，即 周长
9、答案： 。如图，作 ， ， ， ， ， ， ， ， ,
10、答案： 。如图，通过勾股定理易得 ， ， ， ， ， ，又 ，所以当 最小时，这个值最小，所以当 时最小，即点 与点 重合时
11、因为 经过 ，代入得， ， ， 点纵坐标为 ， ，当 时 最小，解析式为
12、如图，过点 作 ，连结 ，易得 为正三角形，所以 ，又 ， ， ， ，
13、 ，①当 ，即 时， ，即 为合数，不符合题意；②当 ，即 时， ，即 为合数，不符合题意；③当 时， 为合数，不符合题意；此时 只能取 ，当 时， 为合数符合题意，所以
14、
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