2012-2013学年度第一学期
高二级数学科期中考试试卷
本试卷分和非两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.
第一部分选择题(共 50 分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，
则图中阴影部分表示的集合是
A． B．
C． D．

2. “ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D． 既不充分也不必要条件

3. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是
A数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定.
B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C. 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定
D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定

4. 已知向量 满足 ，则实数 值是
A． 或1 B. 　 C. 　 D. 或

5.命题 在 上是增函数;
命题 若 ,则有:
A. B. C. D.
6.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图
(或称主视图)是一个底边长为8、高为3的等腰三角形，
侧视图(或称左视图)是一个底边长为4、高为3的等腰
三角形．则该儿何体的侧面积为
A. B. C. 36 D.
7. 执行右边的程序框图，若 ，则输出的
A. B. C. D.

8. 当 ，则 的大小关系是
A． B．
C. D．

9. 已知点 ，直线 ： ，
点 是直线 上的一点，若 ，则
点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．

10.若对任意实数 , 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.


第二部分非选择题 (共 100 分)
二．题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．
11．已知椭圆 ，则椭圆的焦点坐标是 ＊
12.数列 是等差数列， ，则前13项和 _*____
13.设 满足约束条件 若目标函数
的最大值为1,则正数 满足的关系是___*_____, 的最小值是__*___

14.定义在 上的偶函数 满足： ，且在 上
是增函数，下面是关于 的判断：
（1） 是周期函数； （2） 在 上是增函数；
（3） 在 上是减函数； （4） 的图象关于直线 对称.
则正确的命题序号是
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分12分）
的面积是 角 的对边分别是 ,
(1) 求 的值；
(2) 分别求 的值.

16．（本题满分12分）
甲、乙、丙、丁四名广交会志愿者分在同一组.广交会期间，该组每天提供上午或下午共两个时间段的服务，每个时间段需且仅需一名志愿者.
（1）如果每位志愿者每天仅提供一个时间段的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率；
（2）如果每位志愿者每天可以提供上午或下午的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率.

17.（本题满分14分）
如图所示,四棱锥 中，侧面 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面 是菱形， ， 为 的中点，
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求证： ；　　　　　　　
（3）(科)求三棱锥 的体积.
(3)(理科) 求直线 与平面 所成角的正切值.

18. （本题满分14分）
已知数列 的前 项和 和通项 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ,求数列 的前 项和 ,并证明 .

19． （本题满分14分）
已知圆
（1）若直线 : 与圆 有公共点，求直线 的斜率 的取值范围；
（2）（科）若过 的直线 被圆C截得的弦长为 ，求直线 的方程；
（2）（理科）若斜率为1的直线 被圆 截得的弦 满足 （ 是坐标
原点），求直线 的方程.

20．（本题满分14分）
已知函数 ，
（1）若函数 满足 ，求实数 的值；
（2）若函数 在区间 上总是单调函数，求实数 的取值范围；
（3）若函数 在区间 上有零点，求实数 的取值范围.

2012-2013学年度第一学期
高二级数学科期中试题答案
一、选择题：CABA D AD C BB
二、题：11. ; 12. 26 13. ；8 14.（1），（4）
三、解答题
15．（本题满分12分）
15.解：（1） ……3分
……………… 6分
（2） 中， ……… 8分
代入解得 …… 9分
由余弦定理得： ………11分
………12分
16．（本题满分12分）
16.解（Ⅰ）从四个人中选出2个人去上午或下午服务（仅一段）是一个基本事件，……………1分，
基本事件总数有：（画树状图（或列举法））（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）共12种情况，每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………3分，
其中甲乙在同一天服务有2种情况（乙、甲），（甲、乙），……………………4分，
所以甲.乙两人在同一天服务的概率 ……………………6分.
（未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分）
（Ⅱ）从四个人中选出2个人(可以重复选同一个人)去上午或下午服务（一段或两段）是一个基本事件,…………1分，画树状图（或列举法）（甲、甲），（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙，乙），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），
（丁，丁）共16种情况每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………9分.
“其中甲乙在同一天服务”有2种情况（甲、乙），（乙、甲），……………………10分.
所以甲.乙两人在同一天服务的概率 ……………………12分.
（未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分）
17(本题满分14分)
证明（1）连接AC交BD于为O，连接EO，∵　E为PC的中点，O为AC的中点，在△PAC中，PA∥EO ，
，PA∥平面BDE,　　……………5分
（2）则 为 的中点, 连接 .
, . ……………6分
是菱形， , 是等边三角形. ………7分
………8分 平面 ………9分
. 平面 , .……………10分　　　　　　　
（3）(科） , 　　　　　

是三棱锥 的体高,
……………14分
（3）（理科） , 　　　　　

……………………………14分
18．（本题满分14分）
（1）当 时， ．…………3分
当 时， ，………5分
即 ,…………6分
又 所以数列 是首项为 公比为 的等比数列, …………8分
．…………9分

（2）由（1）可知 ，
所以 ． ①
① 3得
． ②………11分
②-①得： …………12分
…………13分
． …………14分
19.（本题满分14分）
（1）直线 与圆C有公共点，所以圆心 到直线 的距离 （r=2），……2分
………………5分
两边平方，整理得 ………………7分
（2）（科）设直线 的斜率为k，则直线 方程为y=k(x-2),即kx-y-2=0，………………8分
由 ， ………………9分
两边平方，整理得： ………………10分
解得 或 均在 上，………………12分
直线方程为： 或 即： 或 …………14分
(2)（理科）存在，
解法1：设直线 的方程： ，设 ………………8分
则 ，因为
①………………10分
把 代入 整理得
（*）
………………12分
将上式代入①得 即 得 满足（*）
………………13分
所以存在直线，方程是， ………………14分
解法2：设直线 的方程： ，………………8分
设AB的中点为D，则 又 ，………………9分
则CD的方程是 ，即 ，………………10分
联立 与 得 ………………11分
圆心 到直线 的距离
………………12分
整理得 得 ，满足 ………………13分
所以存在直线，方程是， ………………14分
20. （本题满分14分）
(1) 知函数 关于直线 对称……………1分
……………………2分
（2）① 在区间 上单调递减……………………3分
② 即 时， 在区间 上单调递增……………………4分
③ 即 时， 在区间 上单调递减……………………5分
④ 在区间 上单调递减……………………6分
综上所述， 或 ， 在区间 上是单调函数…………………7分
（3）解法1：
当 时，函数 的零点是 ， 在区间 上没有零点
当 时，…………………8分
①若 在区间 上有两个相等的实根，则 且 即
当 则 ， ， ………9分
②若 在区间 上有一个实根，则 ，即
得 …………………10分
③若 在区间 上有两个的不同实根，则有
或 解得 或空集…………12分
综上 ，检验 的零点是0，2，其中2 ，符合；
综上所述 …………………14分
解法2
当 时，函数 在区间 上有零点 在区间 上有解 在区间 上有解，问题转化为求函数 在区间 上的值域……8分
设 ， ，则 ……9分
设 ，可以证明当 递减， 递增
事实上，设 则 ，
由 ，得 ， ，即 ． ……10分
所以 在 上单调递减．同理得 在 上单调递增，……11分
又 故
……12分
． 13分
故实数 的取值范围为 ．……14分

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