理科数学
考生注意：本卷分和非两部分，满分100分，时间120分钟
一） 选择题（每小题3分）
1.“a＞0”是“ ＞0”的
(A)充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
2.双曲线 的实轴长是
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
3．若平面α，β的法向量分别为u＝(－2, 3，－5)，v＝(3，－1, 4)，则( )．
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
4 ．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( )
A.627 B.637 C.647 D.657
5. 曲线 在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为( )
A.105 B.155
C.45 D.23
7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )．
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
8．已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外任一点O，若OB→＋OM→＝3OP→－OA→，则点P与A、B、M( )
A．共面 B．共线
C．不共面 D．不确定
9.二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为( )
A．2a B.5 C．a D.3a
10．已知双曲线 (a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞)
二、题 （每小题3分）
11，函数y=sin2x-con2x的导数为
12．ABCDA1B1C1D1为平行六面体，设AB→＝a，AD→＝b ，AA1→＝c，
E、F分别是AD1、BD的中点，则EF→＝ .
（用向量a b c表示）
13.曲线 y=x2－1与 y=3－x3在x=x0处的切线互相垂直，则x0=＿＿＿
14.函数f(x)=xlnx 的单调递增区间是 ．
15.已知抛物线 的准线为 ，过 且斜率为 的
直线与 相交于点 ，与 的一个交点为 ．若 ，则 ．
三、解答题
16.（8分） 若f（x）=ax3+bx2，且f（x）在点P（－1,-2）处的切线恰好与直线3x－y=0垂直。（1）求a,b的值；（2）若f（x）在区间[0,m]上单调，求m的取值范围。
17．(8分)在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见下图)．求B、D间的距离．
18.（ 9分） 如图，过椭圆 的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．求椭圆 的“左特征点”M的坐标；
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19.（ 10分）如图，四面体ABCD中 ，O、E分别是BD、BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2,AB＝AD＝ 。
1）求证：AO 平面BCD；
2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
3）求点E到平面ACD的距离。
20．（ 10分）已 知 是函数 的极值点．当 时，
求函数 的单调区间；
21. （ 10分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点．
（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；
（II）在 轴上是否存在定点 ，使 ? 为常数？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
高二年级第二次数学月考试题
一选择题
ACCDB,BBAAC
11 2sin2x
12．a－12c
13 x0=＿＿ ＿
14.
15 2.
三解答题
16若f（x）=ax3+bx2，且f（x）在点P（－1,-2）处的切线恰好与直线3x－y=0平行。
（1）求a,b的值；（2）若f（x）在区间[m,o]上单调递增，求m的取值范围。
A=-1,b=-3, [-2,0)
17．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见下图)．求B、D间的距离．
解：∵∠ACD=90°，∴ ＝0.
同理 ＝0
∵AB和CD成60°角，∴〈 〉＝60°或120°.
∵ ，
∴
＝
＝3＋2×1×1×cos〈 〉
＝
∴ ＝2或2，即B、D间的距离为2或2.
18. 如图，过椭圆 的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．求椭圆 的“左特征点”M的坐标；
w18.解：(1)解：设M(m，0)为椭圆 的左特征点，
椭圆的左焦点为 ，设直线AB的方程为
将它代入 得： ，
即 --------------------------------
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， ---------------
∵∠AMB被x轴平分，∴
即 ，?
?
∴ ， -------------------------------------- 于是
∵ ，∴ ，即 ∴M( ，0) -------------------------------
19如图，四面体ABCD中 ，O、E分别是BD、BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2,AB＝AD＝ 。
1）求证：AO 平面BCD；
2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
3）求点E到平面ACD的距离。
1)证明 略
关键证明?AOC为直角三角形
19．已 知 是函数 的极值点．
当 时，讨论函数 的单调性；
解 ,
．
由已知得， 解得a=1．
．
当 时， ，当 时， ．又 ，
所以当 时， 在 上单调递减， 单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
21.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点．（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；（II）在 轴上是否存在定点 ，使 ? 为常数？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
解：由条件知 ， ，设 ， ．
解法一：（I）设 ，则 ， ，
，由 得
即 于是 的中点坐标为 ．
当 不与 轴垂直时， ，即 ．
又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得
，即 ．
将 代入上式，化简得 ．
当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程．
所以点 的轨迹方程是 ．
（II）假设在 轴上存在定点 ，使 为常数．
当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ．
代入 有 ．
则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，
于是
．
因为 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时 = ．
当 与 轴垂直时，点 的坐标可分别设为 ， ，
此时 ．
故在 轴上存在定点 ，使 为常数．
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