同角的三角函数的基本关系

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网
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1.2.2同角的三角函数的基本关系
一、目标:
⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义;
2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能,提高运用公式的灵活性;
3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的过程中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力.
二、教学重、难点
重点:公式 及 的推导及运用:(1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个;(2)化简三角函数式;(3)证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式.
三、学法与教学用具
利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 及 ,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.
教学用具:圆规、三角板、投影
四、教学过程
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.
【探究新知】
探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线 ,余弦线 和半径 三者的长构成直角三角形,而且 .由勾股定理由 ,因此 ,即 .
根据三角函数的定义,当 时,有 .
这就是说,同一个角 的正弦、余弦的平方等于1,商等于角 的正切.
【例题讲评】
例1化简:
解:原式
例2 已知
解:

(注意象限、符号)

例3求证:
分析:思路1.把左边分子分母同乘以 ,再利用公式变形;思路2:把左边分子、分母同乘以(1+sinx)先满足右式分子的要求;思路3:用作差法,不管分母,只需将分子转化为零;思路4:用作商法,但先要确定一边不为零;思路5:利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果;思路6:由乘积式转化为比例式;思路7:用综合法.
证法1:左边= 右边,
∴原等式成立
证法2:左边= =
= 右边
证法3:
∵ ,

证法4:∵cosx≠0,∴1+sinx≠0,∴ ≠0,
∴ = = =1,
∴ .
∴左边=右边 ∴原等式成立.

例4已知方程 的两根分别是 ,

解:
(化弦法)
例5已知 ,

解:


【课堂练习】
化简下列各式
1.
2.
3.

练习答案:
解:(1)原式=


(2)原式=




【学习小结】
(1)同角三角函数的关系式的前提是“同角”,因此 , .
(2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.
(1)作业:习题1.2A组第10,13题.
(2)熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关
系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.
【课后作业】见学案
【板书设计】略
【教学反思】

1.2.2同角的三角函数的基本关系

课前预习学案
预习目标:
通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线,为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。
预习内容:
复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线: 。
提出疑惑:
与初中学习锐角三角函数一样,我们能不能研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化呢?

课内探究学案
学习目标:
⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义;
2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能,提高运用公式的灵活性;
3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力.
学习过程:
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.
【探究新知】
探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线 ,余弦线 和半径 三者的长构成直角三角形,而且 .由勾股定理由 ,因此 ,即 .
根据三角函数的定义,当 时,有 .
这就是说,同一个角 的正弦、余弦的平方等于1,商等于角 的正切.
【例题讲评】
例1化简:

例3求证:

例4已知方程 的两根分别是 ,

例5已知 ,


【课堂练习】
化简下列各式
3.
4.
3.

课后练习与提高
1 已知sinα+cosα= ,且0<α<π,则tanα的值为( )

2 若sin4θ+cos4θ=1,则sinθ+cosθ的值为( )
A 0 B 1 C -1 D ±1
3 若tanθ+cotθ=2,则sinθ+cosθ的值为( )
A 0 B C - D ±
4 若 =10,则tanα的值为
5 若tanα+cotα=2,则sin4α+cos4α=
6 若tan2α+cot2α=2,则sinαcosα=



课后练习与提高答案1 A 2 D 3 D 4 -2 5 6 ±

同角的三角函数的基本关系

教学目的:
⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义;
2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能,提高运用公式的灵活性;
3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力.
教学重点:同角三角函数的基本关系
教学难点:(1)已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时正负号的选择;(2)三角函数式的化简;(3)证明三角恒等式.
授课类型:新授课
知识回顾:同角三角函数的基本关系公式:


典型例题:
例1.已知sin =2,求α的其余三个三角函数值.



例2.已知: 且 ,试用定义求 的其余三个三角函数值.

例3.已知角 的终边在直线y=3x上,求sin 和cos 的值.


说明:已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值时要注意:
(1)角所在的象限;
(2)用平方关系求值时,所求三角函数的符号由角所在的象限决定;
(3)若题设中已知角的某个三角函数值是用字母给出的,则求其他函数值时,要对该字母分类讨论.


四、小结 几种技巧
五、课后作业:
六、板书设计(略)
七、课后记:


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