二项式定理

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网
目标:
知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式
过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题
情感、态度与价值观:过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用
教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用
授课类型:新授课
课时安排:3课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等.
通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.
二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点.
二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为,证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法.
在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习.
教学过程:
一、复习引入:
⑴ ;

⑶ 的各项都是 次式,
即展开式应有下面形式的各项: , , , , ,
展开式各项的系数:上面 个括号中,每个都不取 的情况有 种,即 种, 的系数是 ;恰有 个取 的情况有 种, 的系数是 ,恰有 个取 的情况有 种, 的系数是 ,恰有 个取 的情况有 种, 的系数是 ,有 都取 的情况有 种, 的系数是 ,
∴ .
二、讲解新课:
二项式定理:
⑴ 的展开式的各项都是 次式,即展开式应有下面形式的各项:
, ,…, ,…, ,
⑵展开式各项的系数:
每个都不取 的情况有 种,即 种, 的系数是 ;
恰有 个取 的情况有 种, 的系数是 ,……,
恰有 个取 的情况有 种, 的系数是 ,……,
有 都取 的情况有 种, 的系数是 ,
∴ ,
这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 的二项展开式,⑶它有 项,各项的系数 叫二项式系数,
⑷ 叫二项展开式的通项,用 表示,即通项 .
⑸二项式定理中,设 ,则
三、讲解范例:
例1.展开 .
解一: .
解二:

例2.展开 .
解:


例3.求 的展开式中的倒数第 项
解: 的展开式中共 项,它的倒数第 项是第 项,

例4.求(1) ,(2) 的展开式中的第 项.
解:(1) ,
(2) .
点评: , 的展开后结果相同,但展开式中的第 项不相同
例5.(1)求 的展开式常数项;
(2)求 的展开式的中间两项
解:∵ ,
∴(1)当 时展开式是常数项,即常数项为 ;
(2) 的展开式共 项,它的中间两项分别是第 项、第 项,

例6.(1)求 的展开式的第4项的系数;
(2)求 的展开式中 的系数及二项式系数
解: 的展开式的第四项是 ,
∴ 的展开式的第四项的系数是 .
(2)∵ 的展开式的通项是 ,
∴ , ,
∴ 的系数 , 的二项式系数 .
例7.求 的展开式中 的系数
分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开
解:(法一)

显然,上式中只有第四项中含 的项,
∴展开式中含 的项的系数是
(法二):

∴展开式中含 的项的系数是 .
例8.已知 的展开式中含 项的系数为 ,求展开式中含 项的系数最小值
分析:展开式中含 项的系数是关于 的关系式,由展开式中含 项的系数为 ,可得 ,从而转化为关于 或 的二次函数求解
解: 展开式中含 的项为

∴ ,即 ,
展开式中含 的项的系数为

∵ , ∴ ,

,∴当 时, 取最小值,但 ,
∴ 时, 即 项的系数最小,最小值为 ,此时 .
例9.已知 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,
(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项
解:由题意: ,即 ,∴ 舍去)

①若 是常数项,则 ,即 ,
∵ ,这不可能,∴展开式中没有常数项;
②若 是有理项,当且仅当 为整数,
∴ ,∴ ,
即 展开式中有三项有理项,分别是: , ,
例10.求 的近似值,使误差小于 .
解: ,
展开式中第三项为 ,小于 ,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,
∴ ,
一般地当 较小时
四、课堂练习:
1.求 的展开式的第3项.
2.求 的展开式的第3项.
3.写出 的展开式的第r+1项.
4.求 的展开式的第4项的二项式系数,并求第4项的系数.
5.用二项式定理展开:
(1) ;(2) .
6.化简:(1) ;(2)
7. 展开式中的第 项为 ,求 .
8.求 展开式的中间项
答案:1.
2.
3.
4.展开式的第4项的二项式系数 ,第4项的系数
5. (1) ;
(2) .
6. (1) ;
(2)
7. 展开式中的第 项为

8. 展开式的中间项为
五、小结 :二项式定理的探索思路:观察――归纳――猜想――证明;二项式定理及通项公式的特点
六、课后作业: P36 习题1.3A组1. 2. 3.4
七、板书设计(略)
八、教学反思:
(a+b) n =
这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做 (a+b)n的 ,其中 (r=0,1,2,……,n)叫做 , 叫做二项展开式的通项,它是展开式的第 项,展开式共有 个项.
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式,并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
培养归纳猜想,抽象概括,演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来,是培养学生数学探究能力的极好载体,教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
二项式定理是指
这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开式的一般形式,在初等数学中它各章节的联系似乎不太多,而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础,根据二项式定理的展开,才求得y=xn的导数公式y′=nxn-1,同时 =e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定,而e在高等数学中的地位更是举足轻重,概率中的正态分布,复变函数中的欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式y= 与积分公式 =dxlnx+c是分析学中用的最多的公式之一.而由y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式;f(x)=f(x0)+ (x-x0)2+… (x-x0)n+ (θ∈(0,1))以及由此建立的幂级数理论,更是广泛深入到高等数学的各个分支中.
怎样使二项式定理的教学生动有趣
正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少,所以教材上教法就显得呆板,单调,课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式,再用数学归纳法证明,因为证明写得很长,上课时的板书几乎占了整个黑板,所以课必然上得累赘,学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看,记也感到吃力,又怎能发挥主体作用?
怎样才能使得在这节课上学生获得主动?采用课前预习;自学辅导;还是学生讨论,或读,议、讲,练,或目标教学,还是设置发现情境?看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力,因为这些方法都无法改变算式的冗长,证法的呆板,课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.

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