第一学期金山中学高三期中考试试卷
理科数学
一、（每题5分，共40分）
1、命题“ ， ≥ 恒成立”的否定是（ ）
A． ， < 恒成立； B． ， ≤ 恒成立；
C． ， ≥ 成立； D． ， < 恒成立.
2、已知函数 的零点为 , 则 所在区间为（　　）
A． B． C． D．
3、已知函数 为非零常数 ，则 的图像满足（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于原点对称 D．关于直线 轴对称
4、函数 ，如果 ，则 的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
5、若 、 , 则 是 的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不是充分也不是必要条件
6、设 是定义在 上的周期为2的偶函数,当 时, ,则 在区间 内零点的个数为（　　）
A．B．C．3020D．3019
7、设集合 ≥ ， ≤ ≤ ，如果有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8、在R上定义运算：对 、 ，有 ，如果 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、题（每题5分，共30分）
9、不等式 的解集是 .
10、已知 是R上的奇函数，当 时， ，则 .
11、已知函数 且 ，如果对任意 ，都有 成立, 则 的取值范围是____________.
12、如果方程 有解，则实数 的取值范围是 .
13、已知函数 ，则函数 过点 的切线方程为 .
14、若对任意 ， ，（ 、 ）有唯一确定的 ， 与之对应，称 ， 为关于 、 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数 为关于实数 、 的广义“距离”；
(1)非负性: 时取等号；
(2)对称性: ；
(3)三角形不等式: 对任意的实数z均成立.
今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于 、 的广义“距离”的序号:
① ； ② ； ③
能够成为关于的 、 的广义“距离”的函数的序号是____________.

三、解答题（15、16题每题12分，17至20题每题14分，共80分）
15、已知函数
(1)求 的最大值和最小正周期；
(2)设 , ,求 的值.
16、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝ ）

17、已知函数 满足对 ，都有 ，且方程 有重根.
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .

18、已知函数 ；
（1）如果函数 有两个极值点 和 ，求实数 、 的值；
（2）若函数 有两个极值点 和 ，且 ∈ ， ∈ ， 求 的最小值.

19、已知函数 , 函数 的图象在点 处的切线平行
于 轴.
(1)确定 与 的关系；
(2) 当 时，求函数 的单调区间；
（3）证明:对任意 ,都有 成立.

20、已知 ，函数 ， .（其中e是自然对数的底数）
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）令 ，若函数 在区间 上是单调函数，求 的取值范围.

高三期中考理科数学参考答案：
DCAB BCAB
9、 10、1 11、 ≤ 12、 或 ≤
13、 和 14、①
15、解:(1)

且 的最大值为
最小正周期
(2)
,
又 , ∴

16、解：设楼房每平方米的平均综合费为 元，依题意有 ，
故

等号成立，当且仅当 ，即
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层.

17、解：（1）由对 ，都有 ，∴函数 图像的对称轴为 ，
∴ ， ∴ ，
又方程 有重根，即 有重根，
∴ ， ∴
故
（2）由

18、解：（1）由 ，故 ，
函数 有两个极值点-1和2，
故
∴ ， .
经检验， ， 满足题意.
（2）由函数 有两个极值点 和 ，且 ，
故有 ， 即
画出上述不等式组的可行域 如右图：
又 表示点 到点 距离的平方.
而点 到可行域 的点的最小距离是点A到点 的距离.

所以, 的最小值是 ，此时， ， ；
经检验， ， 满足题意.
19、解:(1)依题意得 ,则
由函数 的图象在点 处的切线平行于 轴得:
∴
（2）由 ，
令 得 或 ,
故 、 随 变化如下表：

极大值
极小值

故函数 在 上单调递增,在 单调递减，在 上单调递增.
(3)证法一:由(2)知当 时,函数 在 单调递增,
,即 ,
令 ,则 ,


即
证法二:构造数列 ,使其前 项和 ,
则当 时, ,
显然 也满足该式,
故只需证
令 ,即证 ,记 ,
则 ,
在 上单调递增,故 ,
∴ 成立,

即
证法三:令 ,
则
令 则 ,
记
∵ ∴函数 在 单调递增,
又 即 ,
∴数列 单调递增,又 ,∴

20、解：（1）由 ， …………1分
令 ，解得： …………2分
故 、 随 变化如下表：

极小值

又 ，故函数 有极小值 ； …………6分
（2）由 ，
令 ， 则 ，
，故 在区间 上是减函数,
从而对 ， ≥ .
①当 ≥ ，即 ≤ 时， ≥ ，∴ 在区间 上增函数.
故 ≤ ，即 ≤ ，
因此，故 在区间 上是减函数, ≤ 满足题意.
②当 < ，即 > 时，由 ， ， ，
且y = 在区间 的图像是一条连续不断的曲线
故y = 在区间 有唯一零点，设为 ，
， 在区间 上随 变化如下表：

极大值

故有 ，而 ，
且y = 在区间 的图像是一条连续不断的曲线，
故y = 在区间 有唯一零点，设为 ，
即y = 在区间 有唯一零点 ，
， 在区间 上随 变化如下表：

极大值

即函数在区间 递减，在区间 递增，矛盾， > 不符题意，
综上所述： 的取值范围是 .

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