9月高三摸底考试理科数学试题

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珠海市9月高三摸底考试理科数学试题
一、:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1.已知集合 , ,则 (  )
A. B. C. D.
2.复数 (  )
A. B. C. D.
3.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的函数为(  )
A. B. C. D.
4.在 中,“ ”是“ ”的(  )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.如图,在 中,点 是 边上靠近 的三等分点,则 (  )
A.   B.   C.    D.
6 .已知 满足约束条件 ,则 的最小值为( )
A . B. C. D.
7.一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: )则该组合体的体积为(  )
A. 72000 B. 64000
C. 56000 D. 44000
8. 对于函数 ,如果存在区间 ,同时满足下列条件:① 在 内是单调的;②当定义域是 时, 的值域也是 ,则称 是该函数的“和谐区间”.若函数 存在“和谐区间”,则 的取值范围是(  )
A. B. C. D.
二、题:本大题共7小题,每小题5分,考生做答6小题,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.
9.不等式 的解集是 .

10.在二项式 的展开式中,含 项的系数是 ,则实数 的值为 .
11.设等比数列 的公比 ,则 .
12.直线 是函数 的切线,则实数 .
13.在 中, , , ,则 .
14.(几何证明选讲选做题)
如图, 圆 的直径
.
15.(极坐标选做题)极坐标系中,曲线 上的点到直线 的距离的最大值是 .
三、解答题:本题共有6个小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分12分)已知函数 .
(1)求 的最小正周期和最小值; (2)若 且 ,求 的值.


17. (本小题满分12分)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有A、B、C三种软件投入使用,经一学年使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数如下表:
班级一二三四
人数3234

(1)从这12人中随机抽取2人,求这2人恰好来自同一班级的概率;
(2)从这12名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择一款软件,其中选A、B两个软件学习的概率都是 ,且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的。设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为 ,求 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分14分)在边长为 的正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,、N分别为AB、CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,重合后的点记为 ,构成一个三棱锥.
(1)请判断 与平面 的位置关系,并给出证明;
(2)证明 平面 ;
(3)求二面角 的余弦值.

19. (本小题满分14分)若正数项数列 的前 项和为 ,首项 ,点 在曲线 上.
(1)求 ;
(2)求数列 的通项公式 ;
(3)设 , 表示数列 的前项和,若 恒成立,求 及实数 的取值范围.
20. (本小题满分14分)已知点 的坐标分别是 、 ,直线 相交于点 ,且它们的斜率之积为 .
(1)求点 轨迹 的方程;
(2)若过点 的直线 与(1)中的轨迹 交于不同的两点 ,试求 面积的取值范围( 为坐标原点).


21.(本小题满分14分)已知函数 ( ).
(1)当 时,求 在 上的最小值;
(2)若函数 在 上为增函数,求正实数 的取值范围;
(3)若关于 的方程 在区间 内恰有两个相异的实根,求实数 的取值范围.

珠海市9月高三摸底考试理科数学
试题与参考答案及评分标准
一、:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1.(集合)已知集合 , ,则 (  )
A. B. C. D.
2.(复数的除法)复数 (  )
A. B. C. D.
3.(函数的奇偶性与单调性)下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的函数为(  )
A. B. C. D.
4.(充要条件)在 中,“ ”是“ ”的(  )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件K$s5u

5.(向量)如图,在 中,点 是 边上靠近 的三等分点,则 (  )
A.    B.  
C.    D.
6.(线性规划)已知 满足约束条件 ,则 的最小值为( )
A . B. C. D.
7.(三视图)一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: )则该组合体的体积为(  )
A. 72000 B. 64000
C. 56000 D. 44000

8.(信息题)对于函数 ,如果存在区间 ,同时满足下列条件:① 在 内是单调的;②当定义域是 时, 的值域也是 ,则称 是该函数的“和谐区间”.若函数 存在“和谐区间”,则 的取值范围是(  )
A. B. C. D.
二、题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.
9.(绝对值不等式)不等式 的解集是 .
10.(二项展开式)在二项式 的展开式中,含 项的系数是 ,则实数 的值为 .
11.(等比数列)设等比数列 的公比 ,则 .
12.(导数)直线 是函数 的切线,则实数 .
13.(解三角形)在 中, , , ,则 4 .
14.(几何证明选讲选做题)
如图, 圆 的直径
.
15.(极坐标选做题)极坐标系中,曲线 上的点到直线 的距离的最大值是 .
三、解答题:本题共有6个小题,12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分.
16.(三角函数)已知函数
(1)求 的最小正周期和最小值; (2)若 且 ,求 的值.
解:(1) ,……………4分
所以 ,当 时, 有最小值 …………………………6分
(2) ,
所以 ……………………………………………………………………………………10分
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ……………………………………………………………………………12分

17.(概率)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有A、B、C三种软件投入使用,经一学年使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数如下表
班级一二三四
人数3234

(1)从这12人中随机抽取2人,求这2人恰好来自同一班级的概率.
(2)从这12名学生中,指定甲、乙、丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择一款软件,其中选择A、B两个软件学习的概率每个都是 ,且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的。设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为 ,求 的分布列和数学期望。
解:(1)设“从这12人中随机抽取2人,这2人恰好来自同一班级”的事件为
则 …………………………………………………………………3分
答:从这12人中随机抽取2人,这2人恰好来自同一班级的概率是 …………………………4分
(2) …………………………………………………………………………………………5分
由题设知,每个人选软件C概率均为 …………………………………………………………………6分



……………………………………………………………………………………10分
的分布列如下


的期望是 …………………………………12分


18.(立几)在边长为 的正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,、N分别为AB、CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,重合后的点记为 ,构成一个三棱锥.
(1)请判断 与平面 的位置关系,并给出证明;
(2)证明 平面 ;
(3)求二面角 的余弦值.
解:(1) 平行平面 ……………………………………………………………………1分
证明:由题意可知点 在折叠前后都分别是 的中点(折叠后 两点重合)
所以 平行 …………………………………………………………………………………2分
因为 ,所以 平行平面 ………………………………………………4分
(2)证明:由题意可知 的关系在折叠前后都没有改变
因为在折叠前 ,由于折叠后 ,点 ,所以 …5分
因为 ,所以 平面 ……………………………………………………8分
(3)解:

所以 是二面角 的平面角. …………………………………10分
因为 ⊥ ,所以 .
在 中, ,由于 ,所以 ,
于是 ……………………………………………………13分
所以,二面角 的余弦值为 ………………………………14分

19.(数列)若正数项数列 的前 项和为 ,首项 ,点 在曲线 上.
(1)求 ;
(2)求数列 的通项公式 ;
(3)设 , 表示数列 的前项和,若 恒成立,求 及实数 的取值范围.
解:(1)因为点 在曲线 上,所以 .
分别取 和 ,得到 ,
由 解得 , .…………………………………………………………………4分
(2)由 得 .
所以数列 是以 为首项,1为公差的等差数列
所以 , 即 …………………………………………………………6分
由公式 ,得
所以 …………………………………………………………………………………………8分
(3)因为 ,所以 ,


……………………………………………………………………10分
显然 是关于 的增函数, 所以 有最小值 ,…………………………………12分
由于 恒成立,所以 ,…………………………………………………………………13分
于是 的取值范围为 .……………………………14分

20.(圆锥曲线)已知点 的坐标分别是 、 ,直线 相交于点 ,且它们的斜率之积为 .
(1)求点 轨迹 的方程;
(2)若过点 的直线 与(1)中的轨迹 交于不同的两点 ,试求 面积的取值范围( 为坐标原点).

解:(1)设点 的坐标为 ,
∵ ,∴ …………………………………………………………2分
整理,得 ,这就是动点 的轨迹方程.……………………………………4分
(2)由题意知直线 的斜率存在,设 的方程为 ①………………………………………5分
将①代入 得:K$s5u

…………………………………………6分
由 ,解得 ……………………………………………7分
设 , ,则 ② ……………………………………………………8分
…………10分
……………11分
令 ,所以
所以 13分
所以 ………………………………………………………………………14分

21.(导数)已知函数
(1)当 时,求 在 上的最小值;
(2)若函数 在 上为增函数,求正实数 的取值范围;
(3)若关于 的方程 在区间 内恰有两个相异的实根,求实数 的取值范围.
解:(1)当 , ,……………………………………2分
于是,当 在 上变化时, 的变化情况如下表:

( ,1)
1(1,2)2
-0+

单调递减极小值0单调递增


由上表可得,当 时函数 取得最小值0. …………………………………………………4分

(2) ,因为 为正实数,由定义域知 ,所以函数的单调递增区间为 ,因为函数 在 上为增函数,所以 ,所以 …………8分

(3)方程 在区间 内恰有两个相异的实根 方程 在区间 内恰有两个相异的实根 方程 在区间 内恰有两个相异的实根 函数 的图象与函数 的图象在区间 内恰有两个交点……………10分
考察函数 , ,在 为减函数,在 为增函数
…………………………………………………………………………………………………12分

………………………………………………13分
画函数 , 的草图,要使函数 的图象与函数 的图象在区间 内恰有两个交点,则要满足

所以 的取值范围为 ……………………………………14分




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