届高三数学上册第一次月考文科试题(有答案)

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望江四中届高三上学期第一次月考
数学(文)
试卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)两部分。答题时120分钟,满分150分。
第Ⅰ卷(选择题共10小题,每小题5分,共50分)
一、选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.)
1.若集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:集合A={ },A={ },所以,
2.设 是虚数单位,则“x=-3”是“复数z=(x2+2x-3)+(x-1)i为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:C
【解析】若复数z=(x2+2x-3)+(x-1)i为纯虚数,则 ,所以“x=-3”是“复数z=(x2+2x-3)+(x-1)i为纯虚数”的充要条件。
3.已知 为等差数列,若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:因为 为等差数列,若 ,所以, ,
4. 下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是(  )
A. B. C. D.
答案:C
【解析】A、D既不是奇函数,也不是偶函数,排除,B只是在区间上递增,只以C符合。
5. 已知函数 有且仅有两个不同的零点 , ,则(  )
A.当 时, , B.当 时, ,
C.当 时, , D.当 时, ,
答案:B
解析:函数求导,得: ,得两个极值点:
因为函数f(x)过定点(0,-2),有且仅有两个不同的零点,所以,可画出函数图象如下图:
因此,可知, ,只有B符合。

6. 函数 的最小正周期是(  )
A. B. C.2π D.4π
答案:B
【解析】函数 ,所以周期为 .
7.函数 的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
答案:D
【解析】 <0, >0,所以,在 上有零点。
8.设集合 是 的子集,如果点 满足: ,称 为集合 的聚点.则下列集合中以 为聚点的有: ; ② ; ③ ; ④ (  )
A.①④B.②③C.①②D.①②④
答案:A
【解析】①中,集合 中的元素是极限为1的数列,
∴在 的时候,存在满足0<x-1<a的x,
∴1是集合 的聚点
②集合 中的元素是极限为0的数列,最大值为2,即|x-1|≥1
对于某个a>1,不存在0<x-1 ,∴1不是集合 的聚点
③对于某个a<1,比如a=0.5,此时对任意的x∈Z,都有x?1=0或者x?1≥1,也就是说不可能0<x?1<0.5,从而1不是整数集Z的聚点
④ >0,存在0<x-1<0.5的数x,从而1是整数集Z的聚点
故选A
9. 一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有(  )
A.12种 B.15种 C.17种 D.19种
答案:D
解析:分三类:第一类,有一次取到3号球,共有 取法;第二类,有两次取到3号球,共有 取法;第三类,三次都取到3号球,共有1种取法;共有19种取法。
10.已知函数 ,定义函数 给出下列命题:
① ; ②函数 是奇函数;③当 时,若 , ,总有 成立,其中所有正确命题的序号是(  )
A.②B.①②C.③D.②③
答案:D
解析:① ,所以,错误;②当x>0时,-x<0,F(-x)=-f(-x)=-( )=-f(x)=F(x),为奇函数,同理可证当x<0时也是奇函数,正确;
③因为n<0,不妨设>0,n<0,又+n>0,所以,||>|n|,
= -( )= ,因为 ,所以,有 <0,正确。

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.)
11.函数 的定义域为 。
答案:(1,2]
解析:由 ,解得:
12.数列 的通项公式 ,其前 项和为 ,则 .
答案:1006
解析:



所以 ,于是 。
13.连掷两次骰子得到的点数分别为 和 ,若记向量 与向量 的夹角为 ,则 为锐角的概率是 .
答案:
解析: 连掷两次骰子得到的点数记为 ,其结果有36种情况,若向量 与向量 的夹角 为锐角,则 ,满足这个条件的有6种情况,所以 为锐角的概率是 。
14.函数 在 上恒为正,则实数 的取值范围是 .
答案:
解析:当 时,函数 在 上为减函数, 不合题意;当 时,由题意得 在 上恒成立,即 在 上恒成立。函数 在 上是增函数,它的最小值为 ,要使 在 上恒成立,只需 。综上,实数 的取值范围是
15. 定义在 上的函数 ,如果对于任意给定的等比数列 , 仍是等比数列,则称 为“等比函数”。现有定义在 上的如下函数:① ;② ;③ ;④ ,则其中是“等比函数”的 的序号为   .
答案:③④
【解析】若① ,则 ,所以不是常数,所以①不是“等比函数”。②若 , ,所以不是常数,所以②不是“等比函数”。③若 , ,所以是常数,所以③是“等比函数”。④若 ,则 , ,所以是常数,所以④是“等比函数”。所以是“等比函数”的 的序号为③④.

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程)
16.(本小题共12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 .
① ;
② ;
③ ;
④ ;
⑤ .
(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 ;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
17.(本小题共12分)已知函数 。
(1)当 时,求该函数的值域;
(2)若 对于 恒成立,求 有取值范围。


18.(本小题共12分)如图,四棱锥 的底面 是正方形,棱 底面 , , 是 的中点.
(1)证明 平面 ;
(2)证明平面 平面 .


19.(本小题共12分)
已知函数
(1)若 求 在 处的切线方程;
(2)若 在区间 上恰有两个零点,求 的取值范围.

20.(本小题13分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 轴上,且过点 .
(1)求抛物线的标准方程;
(2)与圆 相切的直线 交抛物线于不同的两点 若抛物线上一点 满足 ,求 的取值范围.

21.(本小题14分)已知函数 ( ).
(1)当 时,求函数 的单调区间;
(2)当 时, 取得极值,求函数 在 上的最小值;

解答题参考答案
三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程)
16.解:(1)选择②式计算
.
(2)猜想的三角恒等式为
.
证明:


.

17.解: (1)令 时,


(2) 即 对 恒成立,
所以 对 恒成立,
易知函数 在 上的最小值为0.

18.证明:(1)连结 ,设 与 交于 点,连结 .
∵底面ABCD是正方形,∴ 为 的中点,又 为 的中点,
∴ , ∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
(2)∵ , 是 的中点, ∴ .
∵ 底面 ,∴ .又由于 , ,故 底面 ,
所以有 .又由题意得 ,故 .
于是,由 , , 可得 底面 .
故可得平面 平面 .
19.解: (1)
在 处的切线方程为
(2)由
由 及定义域为 ,令
①若 在 上, , 在 上单调递增,
因此, 在区间 的最小值为 .
②若 在 上, , 单调递减;在 上, , 单调递增,因此 在区间 上的最小值为
③若 在 上, , 在 上单调递减,
因此, 在区间 上的最小值为 .
综上,当 时, ;当 时, ;
当 时,
可知当 或 时, 在 上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.
当 时,要使 在区间 上恰有两个零点,则
∴ 即 ,此时, .
所以, 的取值范围为
20.解: (1) 设抛物线方程为 ,
由已知得: 所以
所以抛物线的标准方程为
(2) 因为直线与圆相切,
所以
把直线方程代入抛物线方程并整理得:


得 或
设 ,




因为点 在抛物线 上,
所以,

因为 或 ,
所以 或
所以 的取值范围为
21.解: (1)
当 时,
解 得 或 , 解 得
所以 单调增区间为 和 ,单调减区间为
(2)当 时, 取得极值, 所以
解得 (经检验 符合题意)


+0-0+

?
??
所以函数 在 , 递增,在 递减
当 时, 在 单调递减,

当 时
在 单调递减,在 单调递增,
当 时, 在 单调递增,
综上, 在 上的最小值




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