2013—2014学年度第二学期高三年级二调考试数学试卷(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题 共60分)选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1.已知是实数集,,则( ) A. B. C. D. 在复平面内,复数(是虚数单位)所对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限=( )A.4B.2C.D.关于统计数据的分析,以下几个; 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,方差没有变化;调查剧院中观众观时,从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查分层抽样;已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.682 6,则P(X>4)等于0.158 7 某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人.为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人,则样本容量为A.2 B.3C.4 D.5已知等比数列{an}的前n项和为,若S=4(a1+a3+a5+…+a2n-1), a1a2a3=27,则a6=( )A.27 B.81 C. 243 D.729( )A B.C. D.7. 程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是 ( )A. B. C. D. 8. 设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、,且 ,, 则的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 9. 在所在的平面内,点满足,,且对于任意实数,恒有, 则 ( )A. B. C. D.在平面直角坐标系中,记抛物线与x轴所围成的平面区域为,该抛物线与直线y=(k>0)所围成的平面区域为,向区域内随机抛掷一点,若点落在区域内的概率为,则k的值为( )A. B. C. D.如图,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD,设内层椭圆方程为 ,若直线AC与BD的斜率之积为 ,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 12.已知函数,,若在区间内,函数与轴有3个不同的交点,则实数的取值范围是( )A.B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)13.设球的半径为时间的函数,若球的体积以均匀速度增长,则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 的二项展开式中,所有项的二项式系数和为,则该展开式中的常数项为 15. 在△ABC中,边 角,过作,且,则 . 椭 圆中有如下结论:椭 圆 上斜率为1的 弦 的 中点在直线 上,类比上述结论双曲线 上斜率为1的 弦 的 中点在直线 上 三、解答题(本题满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题卡相应位置)17.(本题满分12分)如图,在中,边上的中线长为3,且,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求边的长.P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,CD⊥平面PAD,PD,O,E分别为AD,PC的中点O=AD=2BC=2CD.(Ⅰ)求证:AB⊥DE;(Ⅱ)求二面角A-PC-O19. (本题满分12分)今年年初,我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气,给我们的身体健康产生了巨大的威胁。私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力。为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469634(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图;(Ⅱ)若从年龄在[15,25),25,35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查,记选中的4人中不赞成ξ,求随机变量ξ20. (本题满分12分)我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”来庆祝数学学科节的成功举办.其中、是过抛物线焦点的两条弦,且其焦点,,点为轴上一点,记,其中为锐角.求抛物线方程;当“蝴蝶形图案”的面积最小时求的大小.21. (本题满分12分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数满足:①对任意的,,当时,有成立;②对恒成立.求实数的取值范围.请在22,23题中任选一题作答,如图,在正ABC中,点D分别在边BC,AC上,且,AD,E相交于点P求证:(I)P、D、C、E共 圆;(II)AP CP. 23.(本题满分10分)已知直线为参数), 曲线 (为参数).(Ⅰ)设与相交于两点,求;(Ⅱ)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值. 15. 15 16. 17.--------6分(Ⅱ)在中,由正弦定理,得,即,解得…分 故,从而在中,由余弦定理,得,所以……………………1分.解法一:()设,连接,分别是、的中点,则,…1分已知平面,平面,所以平面平面,又,为的中点,则,而平面,所以平面,所以平面,又平面,所以;……3分在中,,;又,所以平面,又平面,所以.……6分()在平面内过点作交的延长线于,连接,,因为平面所以平面,平面平面所以平面,平面,所以在中,,是中点,故所以平面,则所以是二面角的平面角……10分设,而,,则,所以二面角的余弦值为……12分解法二:因为平面,平面,所以平面平面,又,是的中点,则,且平面,所以平面……2分如图,以O为原点,以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.…4分,,所以……6分(),,设平面的法向量为,则令,得……8分又,,所以平面的法向量,……10分,所以二面角的余弦值为……12分19.解:()各组的频率分别是……2分所以图中各组的纵坐标分别是……4分……5分()的所有可能取值为:0,1,2,3……………6分……10分所以的分布列是:……11分所以的数学期望……12分21.当时,,由于在上单调递减,所以,.同理,.当时,当且仅当时,有成立. ……8分②时,由(1)可得,22.证明:()在中,由知:≌即所以四点共圆;(II)如图,连结.在中,,,由正弦定理知由四点共圆知,,所以解.(I)的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则. (II)的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是 ,由此当时,取得最小值,且最小值为.解:()由得,,即,,。分()由()知令,则,的最小值为4,故实数的取值范围是。10分zyxCDEOBAPHFCDEOBAP河北省衡水市2014届高三下学期二调考试 数学理试题
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