商丘市2015—2015学年度第一学期期末考试参考答案高三数学（理科）一、选择题（每小题5分，共60分） A B C D D B A D C B A C 二、填空题（每小题5分，共20分）（13） （14） （15） （16）② ④三、解答题（17）解:(I)∵ 成等差数列, ，∴， ……………………3分由,而得 ，∴ . ……………………6分(II)由, , ,得 ,……………………8分又由 ， ……………………10分所以△ABC的面积 .……………………12分（18）解：(Ⅰ)依题意得，，即当时，………3分当时，．………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，………8分故.……………………10分因此，使得成立的必须且仅需满足，即，故满足要求的最小正整数为10. ……………………12分（19）解：证明：(Ⅰ)，建立如图所示的空间直角坐标系，则……………………2分不妨令 ，则＝，＝ ∴?＝，即……………………4分（）存在，设平面PFD的法向量为，由得令，解得设G点的坐标为，则＝……………………要使，只需即，得，从而满足的点G即为所求．……………………8分（），是平面的法向量，易得．又，是与平面所成的角，得，则，……………………………………………………………………10分平面的法向量为n，＝，从而二面角A－PD－F的余弦值为.……………………12分(20)解：（））.∵在上单调递增∴在上恒成立（当且仅当时，取“ ”）.即，从而有，得，即实数的取值范围. ……………………………………4分(Ⅱ) 设），切线 的倾斜角分别为，斜率分别为,则，由切线 与轴围成一个等腰三角形，且 均为正数知，该三角形为钝角三角形，，或. ………………………8分∴，或，或 ∵，∴，或. ……………………………10分从而.∴，得， 或，得.………………………………12分（21）解：（）．∴，化简得，故椭圆E的离心率为 ． ……………………………………………………（）存在满足条件的常数，．……………………5分∵点为线段的中点，∴，左焦点，椭圆E的方程为．……………………6分设，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，．……………8分∵．从而，故点．同理，点．……………………10分∵三点共线，∴，从而x1．从而．故，从而存在满足条件的常数．……………………12分（22）解：(Ⅰ) 延长交圆于点，连结，则，又，，所以，又，可知………………………………3分所以根据切割线定理，即. …………………………………………………………5分(Ⅱ) 过作于，则与相似，………………7分从而有，因此.……………………10分（23）解：（Ⅰ）设点的极坐标分别为，∵点在曲线上，∴，……………2分则= ， , 所以. …………………………………………5分（Ⅱ）由曲线的参数方程知曲线为倾斜角为且过定点的直线，当时，B，C，化为直角坐标为，， ……………………………………7分∵直线斜率为，， ∴. 直线BC的普通方程为， ∵过点， ∴，解得 . ……………………10分（24）解：（Ⅰ）时，，……………2分∴当时，不合题意；当时，，解得；当时,符合题意.综上,的解集为 ……………………5分（Ⅱ）设，的图象和的图象如右图： …………7分易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而. ………………10分河南省商丘市2015-2016学年度高三上学期期末统考理数（扫描版，含答案）
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