§1．3　空间几何体的表面积和体积
1．3．1　空间几何体的表面积

【课时目标】　1．进一步认识柱体、锥体、台体及简单组合体的结构特征，了解它们的有关概念．2．了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．3．会利用柱体、锥体、台体的表面积公式解决一些简单的实际问题．


1．常见的几个特殊多面体的定义
(1)__________________的棱柱叫做直棱柱．
(2)正棱柱是指底面为____________的直棱柱．
(3)如果一个棱锥的底面是____________，并且顶点在底面的正投影是底面中心，我们称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．
(4)正棱锥被______________的平面所截，______________之间的部分叫做正棱台．
2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积
(1)直棱柱的侧面展开图是____________(矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h)，则S直棱柱侧＝______；
(2)正棱锥的侧面展开图是由各个侧面均为全等等腰三角形组成的图形(正棱锥底面周长为c，斜高为h′)，则S正棱锥侧＝__________；
(3)正棱台的侧面展开图是由各个侧面均为全等等腰梯形组成的图形，(正棱台的上、下底面周长分别为c′，c，斜高为h′)，则有：S正棱台侧＝____________．．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是____________、________和________．
S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝12cl＝πrl
S圆台侧＝12(c＋c′)l＝π(r＋r′)l


一、填空题
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为________．
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为__________．
3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B＝__________．
4．三视图如图所示的几何体的表面积是__________．

5．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．
6．正六棱锥的高为4 cm，底面最长的对角线为43 cm，则它的侧面积为________ cm2．
7．底面是菱形的直棱柱，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________．
8．一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2．
9．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________．


二、解答题
10．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．


11．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)


12．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．

能力提升
13．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．



1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．


§1．3　空间几何体的表面积和体积
1．3．1　空间几何体的表面积
答案
知识梳理
1．(1)侧棱和底面垂直　(2)正多边形　(3)正多边形
(4)平行于底面　截面和底面
2．(1)一个矩形　ch　(2)12ch′　(3)12(c＋c′)h′
3．矩形　扇形　扇环
作业设计
1．8π
解析　易知2πr＝4，则2r＝4π，
所以轴截面面积＝4π×2＝8π．
2．1＋2π2π
解析　设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，全面积为＝2πr2＋4π2r2，其比为：1＋2π2π．
3．11∶8
解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则2πr＝34πl，则l＝83r，所以
A＝83πr2＋πr2＝113πr2，B＝83πr2，
得A∶B＝11∶8．
4．7＋2
解析　图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S表面＝2S底＋S侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．
5．3
解析　由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面和，即2πr×3＝2πr2，所以r＝3．
6．303
解析　由题意知，底面边长为23 cm，
侧棱长为l＝16＋12＝27 cm，
斜高h′＝28－3＝5 (cm)，
∴S侧＝6?12?23?5＝303 (cm2)．
7．160
解析　设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，而l21＝152－52，l22＝92－52，而l21＋l22＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S侧面积＝ch＝4×8×5＝160．
8．112
解析　设底面边长、侧棱长分别为a、l，
a2＋a2＋l2＝92a2＋4al＝144，∴a＝4l＝7，
∴S侧＝4?4?7＝112 (cm2)．
9．(2＋2)a2
解析　由已知可得正方体的边长为22a，新几何体的表面积为S表＝2×22a×a＋4×22a2
＝(2＋2)a2．
10．

解　如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12．
连结OE、O1E1，则OE＝12AB
＝12×12＝6，O1E1＝12A1B1＝3．
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，
HE＝OE－O1E1＝6－3＝3．
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32
＝32×42＋32＝32×17，
所以E1E＝317．
所以S侧＝4×12×(B1C1＋BC)×E1E
＝2×(12＋6)×317＝10817．
11．解　

如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π?SA＝2π×10，
所以SA＝20，
同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
∴S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)?AB＋πr21＋πr22
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2．
12．解　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1．
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．
∴S表＝2S下＋S侧
＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36．
∴该几何体的表面积为36．
13．解　由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8＝1．2－2r，
∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1．2－2r)＝πr2＋2．4πr－4πr2＝－3πr2＋2．4πr＝－3π(r2－0．8r)＝－3π(r－0．4)2＋0．48π．
∴当r＝0．4时，S有最大值0．48π，约为1．51平方米．
(2)若灯笼底面半径为0．3米，
则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)．
制作灯笼的三视图如图．



1．3．2　空间几何体的体积

【课时目标】　1．了解柱、锥、台、球的体积公式．2．会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题．


1．柱体、锥体、台体的体积
柱体：V＝______，V圆柱＝________．
锥体：V＝________，V圆锥＝________．
台体：V＝____________，
V圆台＝13πh(r′2＋r′r＋r2)．
其中S、S′为底面面积，h为高，r、r′为底面半径．
2．球的表面积和体积
S球＝________，V球＝__________
其中R是球的半径．


一、填空题
1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的________倍．
2．正方体的内切球和外接球的体积之比为__________．
3．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．
4．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为________．
5．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．

则该几何体的体积为________m3．
6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为________．
7．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是________．
8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是______cm3．

9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm．

二、解答题
10．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．


11．已知正三棱锥V—ABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积与体积．

能力提升
12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．


13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．


1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V柱体＝Sh??→S′＝SV台体＝13h(S＋SS′＋S′)??→S′＝0V锥体＝13Sh．
4．“割补”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清割补前后几何体体积之间的数量关系．


1．3．2　空间几何体的体积 答案

知识梳理
1．Sh　πr2h　13Sh　13πr2h　13(S′＋S′S＋S)h
2．4πR2　43πR3
作业设计
1．22
解析　由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍，则体积扩大到原来的22倍．
2．1∶33
解析　关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于3a．
两球体积之比为a3：(3a)3＝1∶33．
3．50π
解析　外接球的直径2R＝长方体的体对角线
＝a2＋b2＋c2(a、b、c分别是长、宽、高)．
4．4∶9
解析　设球半径为r，圆锥的高为h，
则13π(3r)2h＝43πr3，可得h∶r＝4∶9．
5．4
解析　由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V＝13×12×3×4×2＝4 m3．
6．a36
解析　连结正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为22a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为a2，则八面体的体积为V＝2×13×(22a)2?a2＝a36．
7．483
解析　由43πR3＝32π3，得R＝2．
∴正三棱柱的高h＝4．
设其底面边长为a，则13?32a＝2，∴a＝43．
∴V＝34(43)2?4＝483．
8．144
解析　此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V正四棱台＝13(82＋42＋82×42)×3＝112，V正四棱柱＝4×4×2＝32，故V＝112＋32＝144．
9．4
解析　设球的半径为r cm，则πr2×8＋43πr3×3
＝πr2×6r．解得r＝4．
10．解　截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF－A1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．
设棱柱的底面积为S，高为h，则△AEF的面积为14S，由于V1＝VAEF－A1B1C1＝13?h?(S4＋S＋S2)＝712hS，剩余的不规则几何体的体积为V2＝V－V1＝hS－712hS＝512hS，所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5．
11．解　

由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝23，
取BC的中点D，连结VD，
则VD＝VB2－BD2＝42－?3?2＝13，
∴S△VBC＝12×VD×BC
＝12×13×23＝39，
S△ABC＝12×(23)2×32＝33，
∴三棱锥V—ABC的表面积为
3S△VBC＋S△ABC＝339＋33＝3(39＋3)．
点V在底面ABC上的射影为H，则A，H，D三点共线，VH即为三棱锥V—ABC的高，
VH＝VD2－HD2＝ VD2－13AD2
＝?13?2－12＝23，
∴VV—ABC＝13S△ABC?VH
＝13×33×23＝6，
所以正三棱锥的体积是6．
12．解　由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．

根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝13π?(3r)2?3r－43πr3＝53πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积是V′＝13π?(33h)2?h＝19πh3，
由V＝V′，得h＝315r．
即容器中水的深度为315r．
13．解　设正方体的棱长为a．如图所示．
①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝a2，
所以S1＝4πr21＝πa2．

②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，
2r2＝2a，
r2＝22a，所以S2＝4πr22＝2πa2．
③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝3a，
r3＝32a，所以S3＝4πr23＝3πa2．
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．

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