第五 数列

一、基础知识
定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.
定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.
定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn= ；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+a¬q；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条是Sn=An2+Bn.
定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有 ，则{an}称为等比数列，q叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q 1时，Sn= ；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b 0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。
定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的 >0，存在，对任意的n>(n∈N),都有an-A< ，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作
定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足q<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为 （由极限的定义可得）。
定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理
定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若α β，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条x1, x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。
二、方法与例题
1．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.
例2 已知数列{an}满足a1= ,a1+a¬2+…+an=n2an, n≥1，求通项an.
【解】 因为a1= ,又a1+a¬2=22•a2,
所以a2= ，a3= ,猜想 (n≥1).
证明；1）当n=1时，a1= ，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。
当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,，
所以 =k(k+2)ak+1,
即 =k(k+2)ak+1,
所以 =k(k+2)ak+1,所以ak+1=
由数学归纳法可得猜想成立，所以
例3 设0<a<1，数列{an}满足an=1+a, an-1=a+ ，求证：对任意n∈N+,有an>1.
【证明】 证明更强的结论：1<an≤1+a.
1)当n=1时，1<a1=1+a，①式成立；
2)假设n=k时，①式成立，即1<an≤1+a，则当n=k+1时，有

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。
2．迭代法。
数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。
例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q 0，求证：存在常数c，使得 •an+
【证明】 •an+1+ (pan+1+an+2)+ =an+2•(-qan)+ =
+an(pqn+1+qan)]=q( ).
若 =0，则对任意n, + =0，取c=0即可.
若 0，则{ + }是首项为 ，公式为q的等比数列。
所以 + = •qn.
取 • 即可.
综上，结论成立。
例5 已知a1=0, an+1=5an+ ，求证：an都是整数，n∈N+.
【证明】 因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n≥1时an+1>an.
又由an+1=5an+ 移项、平方得
①
当n≥2时，把①式中的n换成n-1得 ，即
②
因为an-1<an+1，所以①式和②式说明an-1, an+1是方程x2-10anx+ -1=0的两个不等根。由韦达定理得an+1+ an-1=10an(n≥2).
再由a1=0, a2=1及③式可知，当n∈N+时，an都是整数。
3．数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
例6 已知an= (n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.
【解】 因为an+a100-n= + = ，
所以S99=
例7 求和： +…+
【解】 一般地，
，
所以Sn=

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列 的前n项和，求证：Sn<2。
【证明】 由递推公式可知，数列{an}前几项为1，1，2，3，5，8，13。
因为 ， ①
所以 。 ②
由①-②得 ，
所以 。
又因为Sn-2<Sn且 >0,
所以 Sn, 所以 ，
所以Sn<2，得证。
4．特征方程法。
例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.
【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.
故设an=(α+βn)•2n-1，其中 ，
所以α=3，β=0，
所以an=3•2n-1.
例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an.
【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1,
所以an=α•3n+β•(-1)n，其中 ，
解得α= ，β ，
所以 •3]。
5．构造等差或等比数列。
例11 正数列a0,a1,…,an,…满足 =2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。
【解】 由 得 =1，
即
令bn= +1，则{bn}是首项为 +1=2，公比为2的等比数列，
所以bn= +1=2n，所以 =（2n-1）2，
所以an= • … • •a0=
注： C1•C2•…•Cn.
例12 已知数列{xn}满足x1=2, xn+1= ,n∈N+, 求通项。
【解】 考虑函数f(x)= 的不动点，由 =x得x=
因为x1=2, xn+1= ,可知{xn}的每项均为正数。
又 +2≥ ，所以xn+1≥ (n≥1)。又
Xn+1- = = , ①
Xn+1+ = = , ②
由①÷②得 。 ③
又 >0，
由③可知对任意n∈N+， >0且 ,
所以 是首项为 ，公比为2的等比数列。
所以 • ，所以 ，
解得 • 。
注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。
三、基础训练题
1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.
2. 数列{xn}满足x1= ，xn+1= ,则{xn}的通项xn=_________.
3. 数列{xn}满足x1=1，xn= +2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.
4. 等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.
5. 等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.
6. 数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________.
7. 数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则a1+a2+…+a10=_________.
8. 若 ，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________.
9. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若 ，则 =_________.
10. 若n!=n(n-1)…2•1, 则 =_________.
11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2•log2a3+ log2a2•log2a5+ log2a2•log2a6+ log2a5•log2a6=36，求 的通项。
12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ }是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题
1．已知函数f(x)= ，若数列{an}满足a1= ，an+1=f(an)(n∈N+)，则a2006=_____________.
2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an= .
3. 若an=n2+ , 且{an}是递增数列，则实数 的取值范围是__________.
4. 设正项等比数列{an}的首项a1= , 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则an=_____________.
5. 已知 ，则a的取值范围是______________.
6．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+) ，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。
7．已知 (n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.
8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.
9. 设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.
10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.
11．已知数列{an}中，an 0，求证：数列{an}成等差数列的充要条是
（n≥2）①恒成立。
12．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn= (n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1= ；（3）求数列
13．是否存在常数a, b, c，使题设等式
1•22+2•32+…+n•(n+1)2= (an2+bn+c)
对于一切自然数n都成立？证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。
2．设数列{xn}满足x1=1, xn= ，则通项xn=__________.
3. 设数列{an}满足a1=3, an>0，且 ，则通项an=__________.
4. 已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)•(6+an)=18，且a0=3，则 =__________.
5. 等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.
6. 各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.
7. 数列{an}满足a1=2, a2=6, 且 =2，则
________.
8. 数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.
9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1= 。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？
10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条，且其存在无限个非零项的数列。
11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得
a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

六、联赛二试水平训练题
1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,….
2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1; ②ai-ai+1≤2, i=1,2,…,n-1。
试问f(2007)能否被3整除？
3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

求证：an (n=0,1,2,…)是完全平方数。
4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1<xi (i=0,1,2,…),
（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使 ≥3.999均成立；
（2）寻求这样的一个数列使不等式 <4对任一n均成立。
5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于的正整数序列且满足xk=xk-1-xk-2(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？
6．设a1=a2= ，且当n=3,4,5,…时，an= ,
(?)求数列{an}的通项公式；(?)求证： 是整数的平方。
7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。
8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有xm-xk≥
9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0<q<1，求证：n个实数b0,b1,…，bn和满足：（1）ak<bk(k=1,2,…,n)；
（2）q< < (k=1,2,…,n)；
（3）b1+b2+…+bn< (a0+a1+…+an).

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